離散ガウスカーネルはDFTの固有関数ですか？

ガウス関数はそれ自体に変換するので、フーリエ変換の固有関数ですよね？

しかし、関数のテールが切り捨てられているため、DFTでサンプリングされたガウスについてはこれは正しくありません。

ウィキペディアでは、こことここで、離散サンプリングされたガウスとは異なる離散ガウスカーネル について説明しています。

連続ガウスが連続拡散方程式の解であるのと同じように、それが離散拡散方程式（離散空間、連続時間）の解であるという点で、連続ガウスの離散対応物

それは、DFTがそれ自体に正確に変換することを意味しますか？そうでない場合、同様のガウスのような関数はありますか？

fourier-transform dft gaussian window-functions

— エンドリス
ソース

DFTはフーリエ行列との乗算によって表現できるので、質問はフーリエ行列の固有ベクトルとは何かを尋ねることと同じです。

ただし、固有値（ $1, -1, i, -i$ ）は単純ではなく、固有ベクトルは一意ではありません（つまり、線形結合も固有ベクトルです）。また、単純な閉じた式はありません。

あなたが尋ねたものに近い固有ベクトルの1つの公式はウィキペディアによって提供されています

F_{メートル} = Σ_{k = - \infty}^{\infty} \exp （ - \frac{π \cdot （ メートル + N \cdot k ）^{2}}{N} ） メートル = 0 、 \dots 、 N - 1

$F_m = \sum_{k = -\infty}^\infty \exp\left(-\frac{\pi\cdot(m+N\cdot k)^2}{N}\right) \quad\quad\quad m = 0,\ldots,N-1$

結論として、ガウス関数自体は固有ベクトルではなく、ガウスの無限和です。無限合計は、FTからDFTに移行するときの周波数および時間領域の離散化と同等に解釈される可能性があります。そのため、離散ガウスを切り捨てるほど単純ではありません。

— アンドレアスH
ソース

ガウスの無限の合計はまだガウスですか？

— TheGrapeBeyond 2013

いいえ、ガウスの畳み込みは依然としてガウスです。それらが同じ位置と幅である場合のみ、合計はガウス分布になります。この関数は、実際には離散ガウスパルス列の1周期です。したがって、ガウスのようにも見えません。

— Andreas H.

ああ、分かった。言い換えれば、この合計は、本質的に、分散が同じで平均が異なるガウスで構成されるガウストレインです。

— TheGrapeBeyond 2013

丁度。平均の間隔は、DFTの長さであるNです。

— Andreas H.

ああ、魅力的です。最後に、これは無限の長さのベクトルです。つまり、DFT行列も無限の長さです。

— TheGrapeBeyond 2013