理想的なLPF BIBOは不安定ですか？

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他の議論の1つ：線形システムの周波数応答、安定性、因果関係を見つける方法は？

私は非常に強力なコメントを見つけ、間違いなく私の注意を引いた。

理想的なローパスフィルターは、周波数応答がすべての制限されているにもかかわらず、BIBOが安定していないシステムの例です $f$

私はここhttp://en.wikipedia.org/wiki/BIBO_stabilityの安定性の定義に従っています

理想的なLPFが確かにBIBO不安定になる可能性があることの証明を誰かに教えてもらえますか？

もちろん、無限のゲインを持つ理想的なLPFは、無限の出力を生成できます。ゲインが有限の場合、質問はLPFに限定されます。

filters linear-systems

— ディパン・メタ
ソース

1

理想的なLPFは、フォームのインパルス応答を有する

ないしない条件を満足する

は、BIBOの安定性に必要です。したがって、で応答

に有界信号

及び

）であり、

h (t) = sinc (t)

$h(t) =\text{sinc}(t)$

\int_{- \infty}^{\infty} | h (t) | d t < \infty

$\int_{-\infty}^{\infty}|h(t)|dt < \infty$

t = 0

$t=0$

を前後に切り替えます（

x (t) = sgn (sinc (t))

$x(t) = \text{sgn}(\text{sinc}(t))$

+ 1

$+1$

- 1

$-1$

なので、理想的なLPFはBIBO安定システムではありません。

\int h (- t) x (t) d t = \int h (t) x (t) d t = \int | h (t) | d t = \infty

$\int h(-t)x(t)dt = \int h(t)x(t)dt = \int |h(t)|dt = \infty$

— Dilip Sarwate、2011

7

この回答は、ヨーダの回答に対するOPのコメントへの応答です。

その仮定プロパティは、時不変系線形連続時間のインパルス応答を有することいくつかの有限数のための。次に、すべての 境界のある入力について、出力も境界があります。もしすべてのための $h(t)$

\int_{- \infty}^{\infty} | h (t) | d t = M

$\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| \mathrm dt = M$

M

$M$

x (t)

$x(t)$

y (t)

$y(t)$

| x (t) | \leq \hat{M}

$|x(t)| \leq \hat{M}$

t

$t$

、その後、いくつかの有限数です

すべてのため

また、有限数です。証明は簡単です。

\hat{M}

$\hat{M}$

| y (t) | \leq \hat{M} M

$|y(t)| \leq \hat{M}M$

t

$t$

\hat{M} M

$\hat{M}M$

言い換えれば、

は

\begin{aligned} | y (t) | & = | \int_{- \infty}^{\infty} h (τ) x (t - τ) d τ | \\ \leq \int_{- \infty}^{\infty} | h (τ) x (t - τ) | d τ \\ \leq \int_{- \infty}^{\infty} | h (τ) | \cdot | x (t - τ) | d τ \\ \leq \hat{M} \int_{- \infty}^{\infty} | h (τ) | d τ \\ = \hat{M} M . \end{aligned}

$\begin{align*} |y(t)| &= \left |\int_{-\infty}^\infty h(\tau)x(t - \tau)\mathrm d\tau\right |\\ &\leq \int_{-\infty}^\infty |h(\tau)x(t - \tau)|\mathrm d\tau\\ &\leq \int_{-\infty}^\infty |h(\tau)|\cdot|x(t - \tau)|\mathrm d\tau\\ &\leq \hat{M}\int_{-\infty}^\infty |h(\tau)|\mathrm d\tau\\ &= \hat{M}M. \end{align*}$

y (t)

$y(t)$

も有界です。

x (t)

$x(t)$

このように、条件 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| \mathrm dt < \infty$ は、BIBOの安定性にとって十分です。

条件もBIBO安定性のために必要です。 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| \mathrm dt < \infty$

$x(t) = \text{sgn}(h(-t)) ~\forall~ t$ $|x(t)| \leq 1$ $t$ $t=0$

\begin{aligned} y (0) & = \int_{- \infty}^{\infty} h (0 - τ) x (- τ) d τ \\ = \int_{- \infty}^{\infty} h (- τ) sgn (h (- τ)) d τ & = \int_{- \infty}^{\infty} | h (- τ) | d τ \\ = \int_{- \infty}^{\infty} | h (t) | d t . \end{aligned}

$\begin{align*} y(0) &= \int_{-\infty}^\infty h(0-\tau)x(-\tau)\mathrm d\tau\\ &= \int_{-\infty}^\infty h(-\tau)\text{sgn}(h(-\tau))\mathrm d\tau &= \int_{-\infty}^\infty |h(-\tau)|\mathrm d\tau\\ &= \int_{-\infty}^\infty |h(t)|\mathrm dt. \end{align*}$

y (0)

$y(0)$

\int_{- \infty}^{\infty} | h (t) | d t < \infty

$\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| \mathrm dt < \infty$

離散時間システムの証明は似ていますが、すべての積分が和に置き換えられるという明らかな変更があります。

yodaの回答にあるように、インパルス応答は完全に積分可能ではないため、理想的なLPFはBIBO安定システムではありません。しかし、彼の答えは実際には質問に答えません

理想的なLPFが確かにBIBO不安定になる可能性があることの証明を誰かに教えてもらえますか？

理想的なLPFから無制限の出力を生成する（したがって、システムがBIBOで安定していないことを証明する）有界入力信号の具体例は、上記のように構築できます（主な質問に関する私のコメントも参照）。

— ディリップ・サルワテ
ソース

5

$L^1$ $\ell^1$ インパルス応答の離散システムのノルム）。あなたが引用したwiki記事から、

連続時間線形時不変（LTI）システムの場合、BIBOの安定性の条件は、インパルス応答が完全に可積分であること、つまりL1ノルムが存在することです。

$\int_{- \infty}^{\infty} | h (t) | d t = ‖ h (t) ‖_{1} < \infty$ $\int_{-\infty}^\infty |h(t)|\ dt=\Vert h(t)\Vert_1<\infty$

$\text{sinc}$ $L^2$ $L^1$ $\text{sinc}(t)$

\int_{- \infty}^{\infty} | sinc (t) | d t = \infty

$\int_{-\infty}^\infty |\text{sinc}(t)|\ dt=\infty$

$f$

— ロレム・イプサム
ソース

私がインパルス応答が絶対的に合計可能であると思ったことから、すなわち、そのL1ノルムが存在します。システムがBIBOで安定していることを示す十分な条件です。しかし、これは保持しなければならない必要条件ですか？

— Dipan Mehta

-2

理想的なlpfのフーリエ変換は、時間ドメインでのsinc関数であり、-無限から+無限まで存在するため、非因果的であり、その中の領域は無限なので無限です。..

— パンカジ・クマール・シン
ソース

1

DSP.SEへようこそ！回答ありがとうございます。既存の回答に何か追加することはないと思います。さらに、sinc関数の下の領域が無制限であることは真実ではなく、無制限のsinc関数の大きさの下の領域です。後者はシステムを不安定にします。

— Matt L.