DFTと乗算/畳み込み等価

DFTを使用して、1つのドメインでのベクトルの乗算が、他のドメインでのベクトルの変換の循環たたみ込みと等価であるという単純な、または潜在的に直感的な説明はありますか？

DFTは（特別な）正方行列による乗算にすぎないので、この行列と行列の乗算は上記の双対性を可能にしますか？

正しく言うと、DFTは行列の乗算、つまりフーリエ行列で表すことができます。 $\mathbf{F}$。一方、DFTは乗算で巡回畳み込みを「変換」します（DFT、DTFT、FTのようなすべてのフーリエ変換バリアントには、畳み込みを乗算に変換する同様の特性があるため）。

行列の図でこれを理解するために、特定のシーケンスとの（循環）畳み込みも行列の乗算で表すことができることに注意してください。より具体的には、これは特殊な種類のテプリッツ行列である循環行列です。

そう $\mathbf{y} = \mathbf{c} * \mathbf{x}$ と $*$ 循環たたみ込みは次のように書くことができます $\mathbf{y} = \mathbf{C}(\mathbf{c}) \mathbf{x}$ と $\mathbf{C}$ ベクトルのエントリから形成された循環行列を表す $\mathbf{c}$。

この方程式をDFTで "変換"する場合（つまり、 $\mathbf{F}$） 私達は手に入れました

$\widehat{\mathbf{y}} = \mathbf{F} \, \mathbf{C}(\mathbf{c}) \,\mathbf{F}^H\, \widehat{\mathbf{x}}$

と $\widehat{\mathbf{y}} =\mathbf{F}\mathbf{y}$ そして $\widehat{\mathbf{x}} =\mathbf{F}\mathbf{x}$ それぞれのDFT（メモ $\mathbf{F}^H$ IDFTを表します）。

ポイントは今です $\mathbf{F} \mathbf{C}(\mathbf{c}) \,\mathbf{F}^H$すべての循環行列はフーリエ行列によって対角化されるため、常に対角行列です。これは、循環行列の固有ベクトルがフーリエ行列の行によって与えられることを意味します。

DFTは畳み込みを要素全体の乗算に変換するため、これはもちろん畳み込みの図と一致します。さらに、この行列の対角要素は、$\mathbf{c}$、または、等価的に、から形成される循環行列の固有値 $\mathbf{c}$。

ちなみに、DFTは、畳み込みと項ごとの乗算（係数の順列まで）を交換する唯一の全単射線形変換です。これを証明することは難しくありませんが、フーリエ空間の音楽、Thmで詳しく説明する前に、この結果についての言及はありません。1.11（Springer 2016）。関連する関数空間を適切に選択する必要があるため、継続的なケースでは面倒です。

おそらく、この逆数は循環行列と同時対角化を使用して証明することもできます。