FFTでスペクトルリークが発生するのはなぜですか？

グーグルやウィキペディアで試してみましたが、「入力信号の周波数が2つのビンの間にあるため」という以外の答えは得ていません。

これが理由であると理解していますが、理解できないのは、漏れが隣接する1つのビンだけではなく、いくつかの隣接するビンにまで及ぶように見える理由です。

私が話していることを説明するために、シミュレートされたデータをいくつか示します（投稿の最後のコード）：

上記は、周波数10の正弦波のFFTスペクトル（対数スケールでプロット）です。サンプリングレートは1、サンプル数は100です。グラフはFFTシフトされています。ビン10には明らかにピークのみがあり、残りは数値誤差のオーダー、またはその付近にあります。

これは、10.1の生成された周波数での周波数スペクトルです。明らかに、すぐ隣のビンよりも多くのビンへの「漏れ」があります。

これは、周波数10.5のプロットです。

質問：この漏れがあるのはなぜですか。また、すぐ隣のビンではなく、他のすべてのビンに広がっているのはなぜですか？

---

興味のある人のためのコード（Pythonコード）

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

xFreq = 10.5
xSize = 100.0
xPeriod = xSize/xFreq
x = np.linspace(1,xSize,xSize)

data = np.sin(2*np.pi*x/xPeriod)
fft = np.fft.fft(data)
fft = np.fft.fftshift(fft)

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
ax.plot(abs(fft), "o")
ax.set_yscale('log')
plt.show()

私は変更xFreqの価値を10.0する10.5など、

FFTは長さが有限であるため、データストリームのデフォルトの長方形ウィンドウを構成します。時間領域のウィンドウは、ウィンドウの変換を伴う周波数領域の畳み込みをもたらします。矩形ウィンドウの変換はSinc関数（sin（x）/ x）であり、幅が無限であることに注意してください。幅が2ビンだけではありません。したがって、Sinc関数のリップルは、FFTの長さで完全に周期的ではないスペクトルピークから遠く離れた「漏れ」として現れます。

以下の図は、sinc関数の周波数応答の一部を示しています。トーンがビンの1つに集中すると、他のすべてのポイントが周波数応答のヌルと整列します。ビンの中心にない場合は、周波数応答全体をシフトするようなもので、他のビンは周波数応答の非ヌル部分に落ちます。

別の見方をすれば、FFTは単なるフィルターバンクであり、各フィルターストップバンドフロアには多くのリップルがあり、中心周波数から1ビン以上離れたところで減衰することは確かではありません。長方形以外の一部のウィンドウ（von Hannなど）には、ストップバンドが低くなっているため、一般的に使用されています。

hotpaw2の回答は良いですが、user5133のコメントについて少し詳しく説明します。

「FFTは入力シーケンスが周期的であると想定しています」と言って、漏れを説明しないでいただきありがとうございます。「想定される周期性」というその愚かな概念は、悲しいことに、DSPの文献であまりにも頻繁に繰り返されています

同時に質問にも答えてください。私はこの分野の専門家であることに注意してください---コメント、修正、確認をお気軽に。

$\mathbb{Z}$$\{1,2,\dots, N\}$

$$X(\omega )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\,e^{-i\omega n}.$$

$N$$N$$\mathbb{Z}$

$${\displaystyle X_{k}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\cdot e^{-2\pi ikn/N},\quad k\in \mathbb {Z} \,}$$ $X(2\pi k/N)$$n$$\{1,2,\dots, N\}$$x[n]w[n]$$w$$n\in\{1,\dots,N\}$

ただし、製品のフーリエ変換は、フーリエ変換の畳み込みです。

$$\mathcal{F}\{f \cdot g\}= \mathcal{F}\{f\}*\mathcal{F}\{g\}$$

$\text{sinc}$

$$\int_{-\infty}^\infty w(f)e^{-j\omega t} dt = \int_{-\tau}^{\tau} e^{-j\omega t}dt =2\tau \text{sinc}(\omega \tau)$$

$\text{sinc}$