回答:
スクリーンでbashシェルを実行して、スクリプトを実行することもできます。
私はこれをテストしました:
screen -d -m bash -c 'vmstat 5 3 2>&1 | tee logfile.log'
これは私にこれを与えました:
kenny@t520:~$ cat logfile.log 
procs -----------memory---------- ---swap-- -----io---- -system-- ----cpu----
 r  b   swpd   free   buff  cache   si   so    bi    bo   in   cs us sy id wa
 1  0      0 5864764 103072 884512    0    0    66    36 1236 1818 17  6 77  0
 0  0      0 5864252 103072 884512    0    0     0     0  311  574  1  1 98  0
 1  0      0 5861532 103080 884512    0    0     0     4 1244 2302  4  2 94  0
だからこれもうまくいくはずです:
screen -d -m bash -c 'script.sh 2>&1 | tee logfile.log'