パラメトリック行列の固有ベクトルの連続性

私は次元の行列H（→ K）ベクターパラメータに応じ→ Kを。$n$$\mathrm{\hat{H}}(\vec{k})$$\vec{k}$

ここで、固有値ルーチンは固有値を特定の順序で返しません（通常は並べ替えられます）が、固有値を→ kの滑らかな関数としてトレースしたいと思います。固有値は特定の順序で返されていないので、ちょうどトレースE Iを、いくつかの特定のインデックスのためのI ∈ { 1 、。。、n }は、以下の図に示すように、滑らかではない線のセットを返します$E_i$$\vec{k}$$E_i$$i\in\{1,..,n\}$

$\vec{k}$$\vec{k}+d\vec{k}$$v_i(\vec{k})\cdot v_j(\vec{k}+d\vec{k})\sim \delta_{p_i p_j}$$p_i, p_j\in \pi(\{1,...,n\})$$\pi$

つまり、固有ベクトルの連続性を追跡します。

ただし、数値ルーチンではいくつかの問題が発生します。私が使用する点の特定の小さなサブセットでは、近くの点にあるいくつかの固有ベクトルがほとんど正規直交ではありません。私の最初の疑いは、それらの固有ベクトルが縮退した固有値に対応していることでしたが、常にそうであるとは限りません。

$d\vec{k}$

そのようなことが起こるのを許されていますか？または、数値ルーチンが連続固有ベクトルを返すことを保証することは可能ですか？私が使用するルーチンはnumpy.linalg.eighで、これはLAPACKのzheevdのインターフェースです。

（あなたの中の物理学者は私がバンド構造について話していることを認識するでしょう）

2つの線が合流する点では、2つの固有値が同じであり、その結果、これら2つの固有ベクトルに対応する固有空間が2次元であることがわかります。つまり、その時点で、2つの固有ベクトルは一意ではなくなり（符号までではなく）、この2次元空間に広がる無限に多くの可能な直交ベクトルのいずれかになる可能性があります。

$k$

私は電磁気学で働いているので、フォトニックバンド構造を計算する必要があります。私はかつてクロスオーバーポイントを検出してバンドをスムーズにすることを試みましたが、多くの試みと同僚との議論の後、最終的にそれを行うための本当に良い方法や理由はないと結論付けました。

しかし、自分のやりたいことをしつこく主張している場合は、kに関する固有値導関数の計算を検討する必要があります。これについては、主に固有値問題の摂動理論（加藤による古典書）に関するかなりの文献があり、固有値縮退が存在する場合の摂動分析にも取り組んでいます（はるかに難しい問題、Roger CE Tanによる文献）。それはまだ比較的簡単なので、私は最初に非縮退のケースに対してこれを実行しようとします。