有限要素法と有限体積法の概念的な違いは何ですか？

有限差分法と有限体積法の間には明らかな違いがあります（方程式の点定義からセル全体の積分平均に移行します）。しかし、FEMとFVMは非常によく似ています。両方とも積分形式と平均セルを使用します。

FVMではないことを行うFEMメソッドは何ですか？FEMの背景を少し読みましたが、方程式は弱い形式で書かれていることを理解しています。これにより、このメソッドはFVMとは少し異なる状態になります。しかし、違いが何であるかを概念レベルで理解していません。FEMは、セル内で未知のものがどのように変化するかに関して何らかの仮定をしますが、これもFVMで行うことはできませんか？

私は主に1Dの観点から来ているので、FEMには複数の次元で利点があるのでしょうか？

このトピックに関する情報は、ネット上であまり見つけていません。ウィキペディアにはFEMと有限差分法との違いに関するセクションがありますが、それについてはhttp://en.wikipedia.org/wiki/Finite_element_method#Comparison_to_the_finite_difference_methodを参照してください。

有限要素：体積積分、内部多項式次数

古典的な有限要素法は、連続または弱連続近似空間を想定し、弱い形式の体積積分が満たされるように求めます。要素内の近似次数を上げると、精度の次数が上がります。これらの方法は厳密に保守的ではないため、多くの場合、不連続プロセスの安定性と格闘しています。

有限体積：表面積分、不連続データからのフラックス、再構成順序

有限体積法は、区分的定数近似空間を使用し、区分的定数テスト関数に対する積分が満たされるよう求めます。これにより、正確な保存ステートメントが得られます。体積積分は表面積分に変換され、物理学全体はそれらの表面積分のフラックスに関して指定されます。1次双曲線問題の場合、これはリーマン解です。二次/楕円フラックスはより微妙です。近傍を使用して（保守的に）要素内部の状態の高次表現を再構築する（勾配再構築/制限）か、フラックスを再構築する（フラックス制限）ことにより、精度の次数が向上します。通常、再構成プロセスは非線形であり、解の不連続な特徴の周りの振動を制御します。全変動低減（TVD）および本質的に非振動（ENO / WENO）メソッドを参照してください。滑らかな領域で一次精度よりも高い精度と不連続性全体の境界付き合計変動の両方を同時に取得するには、非線形離散化が必要です。ゴドノフの定理。

コメント

FEとFVはどちらも、非構造化グリッドで最大2次の精度を簡単に定義できます。FEは、非構造化グリッドで2次を超えることが容易です。FVは、非適合メッシュをより簡単かつ堅牢に処理します。

FEとFVの組み合わせ

メソッドは複数の方法で結合できます。不連続ガラーキン法は、不連続基底関数を使用する有限要素法であるため、リーマンソルバーと不連続プロセス（特に双曲線）のロバスト性が向上します。DGメソッドは、非線形リミッターと一緒に使用できます（通常は精度がいくらか低下します）が、セル単位のエントロピーの不等式を制限なしで満たします。（これは、離散随伴が連続随伴方程式をより代表するため、随伴ベースの最適化に特に役立ちます。）楕円問題の混合FEメソッドは不連続基底関数を使用し、求積法のいくつかの選択後、標準有限体積法として再解釈できます、この回答をご覧ください多くのための。再構成DGメソッド（別名または "Recovery DG"）は、FVに似た保守的な再構成と内部秩序強化の両方を使用するため、FVおよびDGメソッドのスーパーセットです。$P_N P_M$

FEMとFVMの概念的な違いは、木と松の違いと同じくらい微妙です。

特定のFEMスキームを特定の問題に適用されたFVM離散化と比較すると、さまざまな実装アプローチとさまざまな近似プロパティで明らかになる根本的な違いについて話すことができます（@Jed Brownが答えで述べたように）。

しかし、一般に、FVMはFEMの特殊なケースであり、セルのグリッドと区分的に一定のテスト関数を使用します。この関係は、Grossmann、Roos＆Stynes：偏微分方程式の数値処理の本に記載されているように、FVMの収束解析にも使用されます。

基本的な違いは、単に結果に付けられる意味です。FDMは、ソリューションのあらゆる側面のポイント値を予測します。これらの値の間の補間は、多くの場合、ユーザーの想像力に任されています。FVMは、特定の制御ボリューム内の保存された変数の平均を予測します。したがって、統合された保存変数を予測し、弱い（不連続な）ソリューションに収束することを示すことができます。FEMは一連の離散値を提供し、そこから一連の基底関数を呼び出すことにより、どこからでも近似解を明確に推定できます。通常、必須ではありませんが、関連する変数は保守的です。特定の求積規則に従って、ある意味で保守的な有限差分法を使用することは可能です。

これらは定義の問題です。3つすべての方法には多くのバリエーションがあります。すべてのメソッドが明確に1つのタイプであるわけではなく、詳細はアプリケーション領域によって異なります。新しい方法を発明する研究者は、探している特性を提供するのに役立つツールを使用します。あなたが見つけたように、権威ある議論を見つけることは困難であり、私がそれを提供することは難しいでしょう。私ができる最善のアドバイスは、完全に明確な答えを期待することなく、読み続けることですが、あなたにとって意味のあるものに信用を与えることです。