スパース線形システムは、アプリケーションの頻度が高くなるにつれて現れます。これらのシステムを解決するために選択する多くのルーチンがあります。最高レベルでは、直接法（特殊な順序付けアルゴリズムを使用したスパースガウス消去法またはコレスキー分解法、マルチフロント法など）と反復法（GMRES、（双）共役勾配法）の間に分岐点があります。
直接法を使用するか反復法を使用するかをどのように決定しますか？その選択をした後、特定のアルゴリズムをどのように選ぶのでしょうか？対称性の活用についてはすでに知っています（たとえば、スパース対称正定値システムに共役勾配を使用します）が、メソッドを選択する際に考慮すべきこのような他の考慮事項はありますか？
回答:
反復ソルバーを選択する際に重要なことは、演算子のスペクトルです。このペーパーを参照してください。ただし、非常に多くの否定的な結果があります。すべての問題に対して反復ソルバーが当てはまらないこのペーパーと、あらゆるスペクトルのGMRESの収束曲線を取得できることを証明するこのペーパーを参照してください。したがって、いくつかの孤立した場合を除き、反復ソルバーの動作を予測することは不可能と思われます。したがって、直接ソルバーも備えたPETScのようなシステムを使用して、すべてを試すことが最善の選択肢です。
直接法と反復法のどちらを選択するかは、目前の目標と問題に依存します。
Directメソッドの場合、次のことに注意できます。
反復法の場合、次のことに注意できます。
直接法または反復法をいつ使用するかのガイドライン？
私はすでに与えられた答えに完全に同意します。すべての反復メソッドには、何らかの初期推測が必要であることを付け加えたかった。この初期推測の品質は、選択した方法の収束率に影響を与えることがよくあります。Jacobi、Gauss Seidel、Successive Over Relaxationなどのメソッドはすべて、各ステップで可能な限り多くのエラーを反復的に「平滑化」するように機能します（詳細については、このペーパーを参照してください）。最初の数ステップは高周波エラーをかなり迅速に低減しますが、低周波エラーは滑らかにするためにより多くの反復を必要とします。これは、これらの方法の収束を遅くするものです。このような場合、最初に低周波エラーを解決する（たとえば、より粗いメッシュで同じ問題を解決する）ことで収束を加速し、次により高い周波数エラーを解く（たとえば、より細かいメッシュで）ことができます。この概念を分割統治によって再帰的に適用すると、マルチグリッドメソッドと呼ばれるものが得られます。線形システムが対称ではない場合でも、ソルバーの収束を加速できる非特異スパース行列システム（代数マルチグリッド法など）のマルチグリッド法の代替実装があります。ただし、並列システムでのスケーラビリティは、多くの研究の対象です。
あなたの質問には重要な情報が欠けています：マトリックスはどこから来たのですか？解決しようとしていた問題の構造は、解決方法を提案する大きな可能性を秘めています。
行列が滑らかな係数を使用した偏微分方程式から作成された場合、特に3次元では、幾何学的なマルチグリッド法は勝ちにくいでしょう。問題があまり規則的でない場合、代数的マルチグリッドが良い方法です。両方とも通常、クリロフ空間法と組み合わされます。他の効率的なソルバーは、高速多重極法または高速フーリエ変換から導出できます。