ボロノイテッセレーションとDelaunayの三角形分割の問題は、どのように互いに双対ですか？

ボロノイ図はドローネ三角形分割問題の双対であるといつも言われてきました。彼らはどのような意味でお互いの双対になることができますか？二重問題（つまり、線形計画法）でも同じ答えが出るはずだと思いました。明らかに、2つの問題には同じ解決策がありません。どのようにしてそれらを双対と見なすことができますか？

単純な答えは、すべてのドローネ三角形分割に対して、対応するボロノイテッセレーションが1つだけ存在し、逆も同様であるため、それらは二重であるということです。それはほとんどの場合に当てはまりますが、対応が1対1でない場合もあります。たとえば、ボロノイテッセレーションが正方格子である場合です。

ボロノイテッセレーションとドローネ三角形分割はどちらも、特定のポイントセットに対して計算するのは簡単ではありません。しかし、1つを見つけたら、もう1つは簡単に見つけることができます。

点のセットのドロネー三角形分割では、すべての三角形が「ドロネー」です。これは、いずれかの三角形に対応する外接円内に点がないことを意味します。$P$

点の集合に対するボロノイ分割は、、ボロノイセルのセットで構成R内のすべての点についてように、R iは近いいるP I内の他の点に、次にP。$P$$R$$R_i$$P_i$$P$

ドロネー三角形分割を考えると、隣接する三角形の外接円の中心を接続するだけです。

点のセットとボロノイテッセレーションが与えられると、隣接するセルの点が単純に接続されます。これはもちろん、ボロノイテッセレーションを構築するときに使用される点Pのセットを知っていることを前提としています。$P$$P$

他の人が言っていることを説明するためだけに：下の青はボロノイ図、赤はデュアルドローネ三角形分割です。それらは幾何学的平面グラフとして互いに双対です。ボロノイ図から、ドロネー三角形分割を導出することは簡単です。逆方向はそれほど明白ではありませんが、ドロネー三角形分割といくつかの計算からボロノイ図を計算できることは事実です。
          
これらの図は、ComputationalGeometryパッケージを使用してMathematicaで50個のランダムな点について計算しました。私のコードについては、このリンクを参照してください。

${\bf P}$${\bf G}$$G_i$$P_i$$P_j \in {\bf P}, j \neq i$${\bf P}$

ある意味では、これは統計物理学の三角格子と六角格子の間に存在する双対性に似ています。正三角形の格子のセルの中点は、接続されると六角形の格子を形成し、その逆も同様です。

ただし、ボロノイ分割のすべてがドローネ三角形分割の双対であるわけではないことを指摘しておく必要があります。この関係はおそらく、重み付けされていないボロノイ分割にのみ有効です。エッジを決定するためにユークリッド距離以外のものが使用される加重テッセレーション手法の場合、対応は崩れます。

ジェフのコメントについて詳しく述べると、ドローネ三角形分割とボロノイ線図は「問題」ではなく「オブジェクト」です。したがって、「ソリューション」といえば少しずれています。

双対性はテサレーションと三角形分割の間です。三角形分割からテッセレーションに移動するには、三角形分割の頂点のボロノイセットを形成します。VoronoiテッセレーションからDelaunay三角形分割に移動するには、2つのセルが互いに接触している場合、それらの「中間点」を接続します。

ボロノイグラフとドローネグラフは、グラフの特性上、双対と呼ばれます。WikipediaのDual Graphを参照してください。