複雑な数値分析

実際の変数の関数の代わりに複雑な変数の関数を扱う場合、どの数値分析の状況がより多く/より少なく安定し、より速く/より遅く収束しますか、そうでなければまったく異なりますか？

algorithms

— vtt
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あなたの質問は少し曖昧です...あなたが考えていた特定の「状況」または「アルゴリズム」を提案できますか？あなたの質問に答えてくれるととても助かります。

— ポール

私が知っている数値に複素数が現れる唯一の例は、マクスウェルの方程式ですが、一部の数値が

だけで本質的な問題はありません。それでも、すべての複素数を実数のベクトルまたは行列で置き換えると、複素数による乗算は、非対称行列による乗算になります。これが何かを意味するかどうかはいけません。

C

$\mathbb C$

— シューハロ

@Martin：複素体は、代数の基本定理による多項式の自然な設定です。行列の固有値はその特徴的な多項式の根であり、実際の行列でも一般に複素数であるため、線形代数は最も自然に複素体の上に構築されます。

— Jack Poulson、2012年

一方、複雑な演算の使用を回避するために正確にダブルシフトするダブルシフトQRアルゴリズムなどの例を示します。証人だけでなく、2次Jenkins-Traubアルゴリズムも使用します。これは、多項式の複素根と共役対を同時に見つけるように設計されています...

— JM

混合をさらに混乱させるために、複素数が基本的に簿記目的で実数のペアとして扱われることがあるので、私はこれに少し引き裂かれました。

— Geoff Oxberry '15年

回答:

複雑な数値微分は、実際の数値微分とは異なり、安定しています。

「応用および計算複合分析」第3巻、32〜33ページ、Peter Henrici、

「複素ステップ微分近似」、JOAQUIM RRA MARTINS、PETER STURDZA、JUAN J. ALONSO、

そして、このWikipediaの記事数値微分のための複素変数法上。

— vtt
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さらに、コーシー微分公式の数値使用は、実行可能なアルゴリズムである場合があります。関数のテイラー係数を計算するために高速フーリエ変換に依存するLynessや他の方法も参照してください（つまり、与えられた値での導関数のシーケンスを評価します）。

— JM 2012年

好奇心から、ウィキペディアの記事以外に、私たちに指摘できるオンラインリソースはありますか？

— Geoff Oxberry '15年

@Geoff：これとこれは差別化へのLynessアプローチを扱います。スクワイアとトラップによるこの記事は、数値微分への「複雑なステップ」アプローチを詳述したオリジナルの論文です。

— JM 2012年

複雑な区間演算は、長方形や円形など、さまざまな種類の区間を使用するため、実際の区間を使用する場合よりも考慮する必要があります。

「複素区間演算とその応用」、MiodragPetković、LjiljanaPetković

— vtt
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3つのコメントすべてで一度に答えるのではなく、自分の質問に3回答えるのはなぜですか？

— Jack Poulson 2012年

記事：

「複素変数の理論に基づく数値アルゴリズム」、JN Lyness-1967年第22回全国会議の議事録、1967年

— vtt
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