有限体積法を使用する場合、境界条件はどのように適用する必要がありますか？

前の質問から、この不均一な有限体積メッシュに境界条件を適用しようとしていますが、

左側の境界にはゴーストセルが含まれます。

ドメインのlhs（にロビン型の境界条件を適用したいので、 $x=x_L)$

σ_{L} = （ d {あなたは}_{バツ} + a あなたは ） |_{バツ = {バツ}_{L}}

$\sigma_L = \left( d u_x + a u \right) \bigg|_{x=x_L}$

ここで、は境界値です。はそれぞれ境界、移流、拡散で定義される係数です。の誘導体であり、境界で評価および、我々が解決される変数です。 $\sigma_L$ $a, d$ $u_x = \frac{\partial u}{\partial x}$ $u$ $u$

可能なアプローチ

上記の有限体積メッシュにこの境界条件を実装する2つの方法を考えることができます。

ゴーストセルアプローチ。

ゴーストセルを含む有限差分としてをします。 $u_x$
$σ_{L} = d \frac{{あなたは}_{1} - {あなたは}_{0}}{h_{-}} + a あなたは（ {バツ}_{L} ）$ $\sigma_L = d \frac{u_1 - u_0}{h_{-}} + a u(x_L)$
A.次に、ポイントおよびを使用した線形補間を使用して、中間値を見つけます。 $x_0$ $x_1$ $u(x_L)$

B.あるいは、セルを平均して見つける、 $u(x_L)$ $u(x_L) = \frac{1}{2}(u_0 + u_1)$

いずれの場合でも、ゴーストセルへの依存は、通常の方法で（有限体積方程式への代入を介して）排除できます。
外挿アプローチ。

点（）の値を使用して、線形（または2次）関数を近似させます。これにより、値が提供されます。次に、線形（または2次）関数を微分して、境界で導関数の値の式を見つけることができます。このアプローチでは、ゴーストセルは使用しません。 $u(x)$ $x_1, x_2$ $x_3$ $u(x_L)$ $u_x(x_L)$

ご質問

3つのアプローチ（1A、1B、または2）のどれが「標準」ですか、または推奨されますか？
どのアプローチが最小のエラーをもたらしますか、または最も安定していますか？
ゴーストセルアプローチを自分で実装できると思いますが、外挿アプローチをどのように実装できますか？このアプローチには名前がありますか？
線形関数と2次方程式の適合に安定性の違いはありますか？

特定の方程式

この境界を、非線形のソース項を持つ移流拡散方程式（保存形式）に適用したいと思います。

{あなたは}_{t} = - a {あなたは}_{バツ} + d {あなたは}_{バツ バツ} + s （ バツ 、 あなたは 、 t ）

$u_t = -au_x + du_{xx} + s(x,u,t)$

メソッドを使用して上記のメッシュでこの方程式を離散化すると、 $\theta$

w_{j}^{n + 1} - θ r_{a} w_{j - 1}^{n + 1} - θ r_{b} w_{j}^{n + 1} - θ r_{c} w_{j + 1}^{n + 1} = w_{j}^{n} + （ 1 - θ ） r_{a} w_{j - 1}^{n} + （ 1 - θ ） r_{b} w_{j}^{n} + （ 1 - θ ） r_{c} w_{j + 1}^{n} + s （ {バツ}_{j} 、 t_{n} ）

$w_{j}^{n+1} - \theta r_a w_{j-1}^{n+1} - \theta r_b w_{j}^{n+1} - \theta r_c w_{j+1}^{n+1} = w_j^n + (1-\theta) r_a w_{j-1}^n + (1-\theta) r_b w_j^n + (1-\theta) r_c w_{j+1}^n + s(x_j,t_n)$

ただし、境界点（）については、完全に暗黙的なスキーム（）を使用して複雑さを軽減することを好みます。 $j=1$ $\theta=1$

w_{1}^{n + 1} - r_{a} w_{0}^{n + 1} - r_{b} w_{1}^{n + 1} - r_{c} w_{2}^{n + 1} = w_{1}^{n} + s_{1}^{n}

$w_{1}^{n+1} - r_a w_{0}^{n+1} - r_b w_{1}^{n+1} - r_c w_{2}^{n+1} = w_1^n + s_1^n$

ゴーストポイントに注意してくださいこれは、境界条件を適用することで削除されます。 $w_0^{n+1}$

係数には定義があり、

r_{a} = \frac{△ t}{h_{j}} （ \frac{a h_{j}}{2 h_{-}} + \frac{d}{h_{-}} ）

$r_a = \frac{\Delta t}{h_j}\left( \frac{ah_j}{2h_{-}} + \frac{d}{h_{-}} \right)$

r_{b} = - \frac{△ t}{h_{j}} （ \frac{a}{2} [\frac{h_{j - 1}}{h_{-}} - \frac{h_{j + 1}}{h_{+}}] + d [- \frac{1}{h_{-}} - \frac{1}{h_{+}}] ）

$r_b = - \frac{\Delta t}{h_j}\left( \frac{a}{2}\left[ \frac{h_{j-1}}{h_{-}} - \frac{h_{j+1}}{h_{+}} \right] + d\left[-\frac{1}{h_{-}} - \frac{1}{h_{+}} \right]\right)$

r_{c} = \frac{△ t}{h_{j}} （ - \frac{a h_{j}}{2 h_{+}} + \frac{d}{h_{+}} ）

$r_c = \frac{\Delta t}{h_j}\left(- \frac{ah_j}{2h_{+}} + \frac{d}{h_{+}} \right)$

すべての「」変数は、上の図のように定義されています。最後に、時間ステップである（NBは、これは簡略化定数を有する場合及び係数が、実際には「」係数がややこの理由のために複雑です）。 $h$ $\Delta t$ $a$ $d$ $r$

boundary-conditions finite-volume numerical-analysis

— ボーイファレル
ソース

有限体積法に関するLeVequeの最近の本は、実装が単純であるため、ゴーストセルを提唱していますが、エラー用語の説明は思い出せません。

— ジェフオックスベリー

解きたい方程式を書き込めますか？進む方法も問題に依存します。例えば、「ノイマン」部分のために、境界条件は離散定式化で自然に解決されるようになります。

— 1

@GeoffOxberryは提案をありがとう。ゴーストセルを使用してうれしいです。その方法で実装してみます。

— boyfarrell

@Jan最初は、不均一なメッシュの離散化による複雑さのため、方程式を下に置くことを避けましたが、これらの詳細で質問を更新しました。これは移流拡散の問題です。「自然に解決された」とはどういう意味かわかりません。

— boyfarrell

ノイマンのように、bcは、例えばポアソンのeqnのFEMスキームで自然に解決されます。FVMのために私が考える：最初のセルを検討

。

値がある場合

\int_{0}^{h} d_{x} (a u + d u_{x}) d x = (a u + d u_{x}) |_{x = h_{1}} - (a u + d u_{x}) |_{x = 0} = \int s

$\int_0^h d_x (au+du_x) \text{d}x = (au+du_x)|_{x=h_1}-(au+du_x)|_{x=0} = \int s$

u_{x}

$u_x$ 境界では、離散化する必要はありません。

— 1

これは、具体的な質問への回答というよりも、FVMに関する一般的な発言です。そして、メッセージは、境界条件のそのようなアドホックな離散化の必要があるべきではないということです。

開始点がソリューションの離散的な仮説であるFEまたはFDメソッドとは異なり、FVMアプローチでは、ソリューションは（最初は）そのままですが、ドメインのセグメンテーションで平均化されます。解の離散化は、取得した平衡方程式系が、境界面全体のフラックスを近似することにより代数方程式系に変換された場合にのみ機能します。

この意味で、境界条件を考慮して、可能な限りソリューションの連続形式に固執し、最後にのみ離散近似を導入することをお勧めします。

たとえば、方程式は、ドメイン全体で成り立ちます。それはサブドメインに保持する、及び空間内の統合が得られる

{あなたは}_{t} = - a {あなたは}_{バツ} + d {あなたは}_{バツ バツ} + s （ バツ 、 あなたは 、 t ）

$u_t = -au_x + du_{xx} + s(x,u,t)$

[0, h_{1})

$[0,h_1)$

\begin{aligned} \int_{0}^{h_{1}} {あなたは}_{t} d バツ & = & \int_{0}^{h_{1}} \partial_{バツ} （ - a あなたは + d {あなたは}_{バツ} ） d バツ & + & \int_{0}^{h_{1}} s （ バツ 、 あなたは 、 t ） d バツ \\ = & （ - a あなたは + d {あなたは}_{バツ} ） |_{バツ = h_{1}} - （ - a あなたは + d {あなたは}_{バツ} ） |_{バツ = 0} & + & \int_{0}^{h_{1}} s （ バツ 、 あなたは 、 t ） d バツ 、 \end{aligned}

$\begin{align} \int_0^{h_1}u_t \text{d}x &=& \int_0^{h_1} \partial_x(-au + du_{x})\text{d}x &+& \int_0^{h_1} s(x,u,t)\text{d}x \\ &=& (-au + du_{x})|_{x=h_1}-(-au + du_{x})|_{x=0}&+&\int_0^{h_1} s(x,u,t)\text{d}x, \end{align}$

u

$u$

しかし、今、これを代数方程式に変換するために、通常、セルで関数は空間で一定でと仮定します。つまり、。このように、関連した、一方は発現することができると差の商を介したセル境界での $C_i$ $u$ $u(t,x)|_{C_i} = u_i(t)$ $u(x_i)\approx u_i$ $u_x|_{h_i}$ $u_{i}$ $u_{i+1}$ 。セルボーダーでを表現するために、補間（すなわち、中央差分または風上スキーム）を使用できます。 $u$

境界で何をすべきか？この例では、近似することがすべてです、これまで何が行われたとしても。 $(-au + du_{x})|_{x=0}$ $u$

与えられたゴーストセルを導入でき、と間の内挿が境界で等しいという条件があります。 $u|_{x=0}=g_D$ $u_0$ $u_1$ $g_D$
与えられたゴーストセルを導入でき、と間の導関数への近似がボーダーでと一致する条件 ${u_x|}_{x=0} = g_N$ $u_0$ $u_1$ $g_N$
フラックス自体が規定されている場合：、離散化の必要はありません。 $(-a u + du_x )|_{x=0}= g_R$

ただし、フラックスに直接一致しないロビン型のbcがある場合の対処方法はわかりません。これには、移流および拡散パラメーターの不連続性のために、いくつかの正則化が必要になります。

===> FVMに関する個人的な考え<===

FVMはスケーリングされたFDMではありません。通常のグリッド上の1Dポアソンの方程式の例がよく示唆しているように
FVMにはグリッドを配置しないでください。インターフェースを備えたセルが必要で、必要に応じて中央に配置する必要があります
だからこそ、離散化のステンシル定式化は適切ではないと思います
$i$ $\Omega_i$ $u_i$
$h_i$ $d_i:=d_{i,i+1}=|x_i-x_{i+1}|$

— ヤン
ソース

この方法を学んでいる間、ご指導ありがとうございます。たぶん私も自分の考えを共有することができます。私は、できるだけ長くFVMフォームで言うのが最善であることに同意します。特にあなたが示した境界条件のために！しかし、方程式を行列形式で記述することを実装する際に非常に役立つと思います。それは正確で明確な表記法です。また、安定性およびその他の数値特性は、問題の離散化方法に大きく依存します（FVMの場合、これはセルが直面するフラックスがどのように近似されるかを意味します）。その点で、セルよりも反復よりも行列方程式を好みます。

— -boyfarrell

たぶん私の最後のポイントはあいまいだった。最後に、係数行列と可変ベクトルがあります。投稿を編集します。私は実際に行うよりも通訳についてのほうが好きでした。

— 月

素晴らしい、あなたの主張を理解しています。ありがとう。

— -boyfarrell