移動メッシュを生成する背後にある基本原則は何ですか？

移流拡散問題のための移動メッシュの実装に興味があります。アダプティブムービングメッシュメソッドは、有限差分を使用して1Dのバーガー方程式に対してこれを行う方法の良い例です。誰かが、移動するメッシュで有限差分を使用して1D移流拡散方程式を解くための実用的な例を提供できますか？

たとえば、保守的な形式では、方程式は

ここでは速度（空間の関数）です。初期条件u （0 、x ）は、（たとえば）左から右へ（たとえば、パイプに沿って）移動するフロー種を指定できます。この場合、初期条件には急勾配があります。$a(x)$$u(0,x)$

移動メッシュの等分布問題をどのように解決する必要がありますか（おそらくDe Boorのアルゴリズムまたは他のアプローチを使用して）。これを自分でPythonで実装したいので、もしあなたの答えがすぐにコードに変換できればいいのです！

バウンティ前の古い質問

1. システムのプロパティに基づいて適応メッシュを生成するための基本的なアプローチは何ですか？勾配が大きい場所の尺度としてフラックスを使用する必要がありますか？
2. 反復（タイムスイープ）ソリューションを模索しているためです。古いグリッドから新しいグリッドに補間することが重要だと思いますが、通常のアプローチは何ですか？
3. 単純な問題（移流方程式など）の有効な例を確認したいと思います。

問題の詳細についての少しの背景。私は方程式の1D結合システムをシミュレートしています、

$\frac{\partial u}{\partial t} = a_u\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + b_u\frac{\partial u}{\partial x} + f_u(x,u,v,w) \\ \frac{\partial v}{\partial t} = a_v\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + b_v\frac{\partial v}{\partial x} + f_v(x,u,v,w) \\ \frac{\partial w}{\partial t} = a_u\frac{\partial u}{\partial x} +a_v\frac{\partial v}{\partial x} + f_w(x,u,v,w) \\ $

方程式のセットは、3番目の方程式が他の2つの方程式に結合する2つの種の移流拡散問題を記述しています。ソリューションはグリッドの中心近くで急速に変化します。以下を参照してください（これらは計算ではなく図解です）。

下のグラフの対数目盛、とvの解は桁違いに変化することに注意してください。上のグラフ（w）では、中央に不連続性があります。上記のシステムは、ペクレット数のローカル値に応じて、離散化が中央から風上に支配的に適応できる風上で解決しています。時間内の台形積分を使用してシステムを暗黙的に解決しています（「クランクニコルソン」）。$u$$v$$w$

この問題に適応グリッドを適用することに興味があります。そうしないと、形状ピーク（）パラメーターの詳細が失われる可能性があるため、重要だと思います。この質問とは異なり、メッシュ生成のために、できれば簡単にアルゴリズムを適用したいと思います。$w$

これは移流拡散問題であるため、セル境界でのuとvのフラックスに基づく適応メッシュスキームを想像できます。これは、値が急速に変化している場所を示します。wのピークは、フラックスが最大になる場所にも対応します。$u$$v$$w$

アダプティブグリッドは、高流動場勾配の領域でグリッドポイントを自動的にクラスター化するグリッドネットワークです。フローフィールドプロパティのソリューションを使用して、物理面のグリッドポイントを特定します。適応グリッドは、時間依存の流れ場変数を計算する支配的な流れ場方程式の時間依存の解法と連動して、時間のステップで進化します。ソリューションの過程で、物理面のグリッドポイントは、大きな流れ場勾配の領域に「適応」するようにこのような方法で移動します。したがって、物理面の実際のグリッド点は、流れ場の解法中は常に動き続けており、流れ解が定常状態に近づいたときにのみ静止します。

グリッド適応は、定常および非定常の両方のタイプの問題に使用されます。安定した流れの問題の場合、所定の反復回数後にグリッドが適応され、解が収束した時点でグリッド適応が停止します。時間的に正確な解決策の場合、物理的な問題の時間的に正確な解決策と併せて、グリッド点の動きと精密化が実行されます。これには、物理​​的な問題のPDEとグリッドの動きまたはグリッドの適応を記述するPDEの時間的に正確な結合が必要です。

新しい構成の計算では、メッシュ生成のベストプラクティスガイドラインに依存しているため、以前の経験では、大量の数値誤差が発生します。グリッド適応方法は、達成できるグリッド解像度の制限を定義する制限が存在しないため、ソリューションの品質を大幅に改善でき、より良い結果を約束できます。

グリッド適応手法には、 -method、r -methodおよびpの 3つの基本タイプがあります。$h$$r$$p$ -methodの。 -adaptationやh p -adaptation など、いくつかの混合型のアプローチがあります。このうち、rおよびhタイプのグリッド適応手法は、有限体積スキームおよび有限差分スキームでより一般的です。$rp$$hp$$r$$h$

タイプ：-$h$

方法は、自動精密化または事後誤差推定または誤り指標に基づいて空間メッシュの粗大化を含みます。$h$

タイプ：-$r$

メッシュとその接続性に局所的なトポロジ変更を行う代わりに、r適応法は、固定されたメッシュポイントの総数の位置を移動することにより、解像度に局所的な変更を加えます。

$p$

有限体積法または有限要素法ではなく、有限要素アプローチでのグリッド適応の非常に一般的な方法。同じ幾何要素次数を持つ補間関数の多項式を強化することにより、解の誤差を減らします。ここでは、新しいメッシュ、計算される幾何、およびこの方法の別の利点は、より少ない感度で不規則または曲線の境界をより良く近似できることです。アスペクト比とスキュー。このため、構造用途で非常に有名です。

$Driving-sources-of-grid-adaptation$

$1. Feature-based-adaptation$ グリッド適応の機能ベースのほぼ広く使用されているアプローチは、グリッド適応の原動力としてソリューションの機能を採用しています。これらは、ソリューションの勾配やソリューションの曲率など、ソリューションの機能をよく使用します。解の勾配が大きいフロー領域はより多くのポイントで解決され、重要度が最小の領域は粗くなります。これにより、境界層、衝撃、分離線、よどみ点など、物理的に特定の領域が改善されます。場合によっては、勾配ベースの改善により実際にソリューションエラーが増加する可能性があるため、次のような機能ベースの適応に関する問題があります堅牢性など。

$2.Truncation-error-based-adaption$ 切り捨て誤差は、偏微分方程式とその離散化方程式の違いです。切り捨てエラーは、適応が発生する場所を見つけるためのより適切なアプローチです。切り捨てエラーベースの適応の背後にある一般的な概念は、シミュレーションのドメイン全体でエラーを均等に分散して、全体の離散化エラーを減らすことです。単純な方程式の場合、切り捨て誤差の評価は最も簡単な作業ですが、複雑なスキームの場合は難しいため、そのためには異なるアプローチが必要です。単純な離散化スキームの場合、切り捨て誤差を直接計算できます。切り捨ての直接評価が困難なより複雑なスキームでは、切り捨て誤差を推定するアプローチが必要です。

$3.Adjoint-based-adaptation$

ではごきげんよう！

$References:-$

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私はこれに対して良い答えを探していました。洗練に何らかの基準を使用するマルチレベルの適応グリッドを使用しています。FEMを実行している人々は、洗練された基準として使用する、かなり安価な（計算上）厳密な誤差推定を楽しんでいます。FDM / FVMを実行している私にとって、そのような推定値を見つけることができなかった。

あなたがに基づいて改善、すなわちリファイン程度厳格になりたい場合は、この文脈では、いくつかの実際のエラーの推定、あなたの（ほぼ）唯一の選択肢は、リチャードソンの外挿です。これは、たとえば、Berger and Oliger（1984）が使用したものですがブロック構造のAMR双曲線ソルバーに使用したものです。方法論は、リチャードソン補外法を事実上すべての問題に使用できるという意味で一般的です。唯一の問題は、特に一時的な問題の場合、高価であることです。

リチャードソンの外挿法を除いて、他のすべての基準（私の謙虚な意見では）はアドホックです。はい、「関心のある量」に特定のしきい値を設定し、それに基づいて調整できます。ある量のフラックスまたは導関数を使用して、大きな勾配を警告し、それを使用できます。または、インターフェイスを追跡している場合は、インターフェイスにどれだけ近いかに基づいて調整できます。もちろん、これらはすべて非常に安価ですが、厳密なものはありません。

グリッド間の補間に関しては、通常、少なくともソルバーと同じくらい正確なものが必要です。特定の特性を満たす補間を構築することが可能な場合があります。たとえば、質量を節約したり、凸であるため、新しい極値を導入しません。この最後の特性は、スキーム全体の安定性にとって非常に重要な場合があることに注意しました。

実際に1Dである場合、おそらくここではアダプティブメッシュは必要ありません。このような単純な問題については、おそらく最新のワークステーションの計算能力を備えた静的グリッドで必要なすべてを解決できます。しかし、時間積分のプロセスにおいて、数値解像度が強調される領域を定期的に特定し、そこにグリッドポイントを追加し（そして、過剰に解決された領域からグリッドポイントを削除し）、新しいグリッドに補間することは、完全に合理的な戦略です。ただし、補間はコストがかかる可能性があり、計算全体に数値誤差を追加する可能性があるため、これはあまり頻繁に実行しないでください。