行列を反転するための「補因子技術」には実用的な意味がありますか？

タイトルは質問です。この手法は、「コファクターの行列」または「補助行列」の使用を含み、正方行列の逆の成分の明示的な公式を提供します。たとえばよりも大きい行列を手作業で行うのは簡単ではありません。以下のためマトリックスは、マトリックス自体の行列式を計算し、計算する必要の決定行列を。だから、私はそれがアプリケーションにとってそれほど有用ではないと推測しています。しかし、確認をお願いします。 $3\times 3$ $n\times n$ $n^2$ $(n-1)\times(n-1)$

私は、行列に関する定理を証明する上での手法の理論的意義については質問していません。

linear-algebra matrix complexity

— ステファン・スミス
ソース

回答:

あなたは正しいです-それはコンピューティングのための実用的な関連性は絶対にありません。行列式の計算が操作であったとしても、メソッドの複雑さは少なくともあり、その結果、ガウス消去法と同じ複雑さです。実際には、行列の行列式の計算は実際には指数関数的に複雑であるため、この方法はまったく使用できません。 $O(n)$ $O(n^3)$

— ウルフギャング・バンガース
ソース

私が追加したい2つのこと：Cramerのルールの複雑さ（逆行列を計算するために決定子を使用）は

であり、Gaussian Elimination

よりはるかに大きいです。また、一般的に、絶対に必要な場合を除き、逆関数を計算したくないでしょう。

O (n!)

$O(n!)$

O (n^{3})

$O(n^3)$

— ポール

OTOH、バンド化マトリックスなど、ラプラス展開が優先される場合があります。しかし実際、一般に、ラプラス展開には

複雑さがあります。

O (n!)

$O(n!)$

— JM

@Stefan、はい、ガウス消去法を使用して行列式を計算できます。以降

、ガウスの消去は、その決定を容易に計算され、それが実際に取る（三角）因子産生

努力。

det (A B) = det (A) det (B)

$\det(\mathbf A\mathbf B)=\det(\mathbf A)\det(\mathbf B)$

O (n^{3})

$O(n^3)$

— JM

はい、あなたは正しいです-行列式は

分解を犠牲にして計算できます。（再帰的拡張を使用した教科書に示されている単純な方法は、

で指数関数的です- ポールが言及した

複雑さ）。しかし、それでも提案されたアルゴリズムの全体的な複雑さは

になります。これは、使用する場合はガウス消去法よりもはるかに多く、反復ソルバーよりもさらに多くなります。

L U

$LU$

n

$n$

n!

$n!$

O (n^{5})

$O(n^5)$

— ヴォルフガングバンガース

正しい。行の削減は、

分解の計算の半分です。

を

ファクターに減らします。作業の残りの半分は、恒等行列から開始して同じ操作を行い、

行列を生成します。決定要因のみが必要な場合は、後者を避けることができるのは事実です。

L U

$LU$

A

$A$

U

$U$

L

$L$

— ヴォルフガングバンガース

私は群衆に反対しています-マトリックスの逆行列は必要ですが、スケールを気にしない場合、特に、4次元以下の小さな次元の特殊なアプリケーションでは、アジュゲート行列は非常に便利です。

二つの例は、逆の計算含むホモグラフィ及びレイリー商反復を（adjugateを使用することによって簡略化されることに加えて、より良い数値である）非常に小さな問題のために。

— かごなし
ソース

私は完全に同意します、それは多くの場合に役立ついくつかのケースがあります（一般に小さな行列で）！（たとえば、小さなシンプレックスで重心座標を計算するため）

— ブルーノレヴィ