マトリックス式のシンボリックソフトウェアパッケージ？

は対称で正定であることを知っています。Bは直交することがわかっています。$\mathbf A$$\mathbf B$

質問：ある対称正定値？回答：はい。$\mathbf B \cdot\mathbf A \cdot\mathbf B^\top$

質問：コンピューターがこれを教えてくれましたか？回答：おそらく。

行列に関する既知の事実を処理および伝播する記号代数システム（Mathematicaなど）はありますか？

編集：明確にするために、抽象的に定義されたマトリックスについてこの質問をしています。すなわち、私はとBの明示的なエントリを持っていません、私はそれらが両方とも行列であり、対称、正定等のような特定の属性を持っていることを知っています。$A$$B$

編集：これは現在SymPyにあります

$ isympy
In [1]: A = MatrixSymbol('A', n, n)
In [2]: B = MatrixSymbol('B', n, n)
In [3]: context = Q.symmetric(A) & Q.positive_definite(A) & Q.orthogonal(B)
In [4]: ask(Q.symmetric(B*A*B.T) & Q.positive_definite(B*A*B.T), context)
Out[4]: True

他の仕事を示す古い回答

しばらくこれを調べた後、これが私が見つけたものです。

私の特定の質問に対する現在の答えは、「いいえ、この質問に答えることができる現在のシステムはありません」です。しかし、近づいているように見えるいくつかのことがあります。

まず、Matt KnepleyとLagerbaerは両方とも、Diego FabregatとPaolo Bientinesiの働きを指摘しました。この作業は、この問題の潜在的な重要性と実現可能性の両方を示しています。良い読み物です。残念ながら、彼のシステムがどのように機能するか、または何ができるのか正確にはわかりません（このトピックに関する他の公開資料を知っている人がいれば教えてください）。

第二に、Mathematica用に書かれたxActと呼ばれるテンソル代数ライブラリがあり、対称性などを記号的に処理します。いくつかのことを非常にうまく行いますが、線形代数の特殊なケースに合わせて調整されていません。

第3に、これらのルールは、自動定理証明アシスタントであるCoqのいくつかのライブラリに正式に書き留められています（Googleがcoq線形/行列代数を検索していくつかを見つけます）。これは強力なシステムであり、残念ながら人間の相互作用が必要と思われます。

定理証明者と話をした後、彼らはこの種のことのために論理プログラミング（つまり、Lagerbaerも提案したProlog）を検討することを提案します。私の知る限り、これはまだ行われていません-将来的にそれで遊ぶかもしれません。

更新：Maudeシステムを使用してこれを実装しました。私のコードはgithubでホストされています

パッケージNCAlgebra http://www.math.ucsd.edu/~ncalg/（数学の下で実行）を使用して、いくつかのシンボリックマトリックス計算（ブロックマトリックス補完など）を実行できます。

Bergman http://servus.math.su.se/bergman/は、同様の機能を持つLispのパッケージです。

関連論文：http :
//math.ucsd.edu/~helton/osiris/COMPALG2000/ohRevisIJC.pdf
http://math.ucsd.edu/~thesis/thesis/dkronewitter/dkronewitter.pdf
http：// www。 tandfonline.com/doi/abs/10.1080/00207170600882346

CAS2x23x3$\mathbf B$

質問は次のようになりNます、次元行列はどうですか？たぶん、for N-1 x N-1が真であると仮定される帰納的スキームを考え出し、それから全体のサイズで新しいブロック行列を構築し、N x Nそれが正定で対称であることを証明できます。

最後の質問は、どのソフトウェアがタスク（もしあれば）により適しているかということで、私の経験はMATLAB/MuPadandをDerive使用し（まだ使用しています）、どちらもベクトルと行列を非常にうまく処理しません。MATLABすべてをコンポーネントに分解し、Derive宣言Non-scalarsできますが、単純化ルールは適用しません。

$\vec a \times (\vec b \times \vec c) = (\vec a \cdot \vec b)\vec c - (\vec a \cdot \vec c) \vec b$

これらのパッケージのいずれかを最後に使用してからしばらく経ちましたが、アサーションを使用してMathematicaなどの言語でこれを実行できると考えました。Assert [A、Symmetric]のようなものは、Aが対称行列であることなどをMathematicaに伝えます。現時点ではどちらにもアクセスできないので、これは確認する必要があるものです。

Maple 15ではできません。行列には「直交」というプロパティはありません（ただし、対称およびPositiveDefiniteがあります）。

Mathematicaでは、少なくともこれらのプロパティで特定の行列を確認できます。たとえば、A説明したマトリックス：

In[1]:= A = {{2.0,-1.0,0.0},{-1.0,2.0,-1.0},{0.0,-1.0,2.0}};
        {SymmetricMatrixQ[A],PositiveDefiniteMatrixQ[A]}
Out[2]= {True,True}

マトリックスの場合B：

In[3]:= B = {{0, -0.80, -0.60}, {0.80, -0.36, 0.48}, {0.60, 0.48, -0.64}};
        Transpose[B] == Inverse[B]
Out[4]= True

次に：

In[5]:= c = B.A.Transpose[B];
        {SymmetricMatrixQ[c],PositiveDefiniteMatrixQ[c]}
Out[6]= {True,True}

Mathematica行列と線形代数のドキュメント