可変速度の移流方程式は保守的ですか？

速度係数が可変の移流方程式をもう少し良く理解しようとしています。特に、方程式がどのように保守的であるかはわかりません。

移流方程式、

$$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x}(\boldsymbol{v}u) = 0$$

$u(x,t)$を、物理種（$cm^{-3}$）の濃度または作成または破壊できない物理量として解釈してみましょう。ドメイン上でu（x、t）を統合する場合、$u(x,t)$定数を取得する必要があります。

$$\int_{x_{\text{min}}}^{x_{\text{max}}} u(x,t) dx = \text{constant}$$

（これは保守的であることの意味です。）

ここで、速度を空間（および時間）の関数$\boldsymbol{v}(x,t)$にすると、チェーンルールを適用して、

$$\frac{\partial u}{\partial t} + \boldsymbol{v}\frac{\partial u}{\partial x} + \underbrace{u\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial x}}_{\text{?}} = 0$$

最後の用語はソース用語のように「見え」ますが、これは紛らわしいものです。速度場の発散に応じて、量$u$増減します。

この質問に続いて、保存境界条件を課す方法を理解しています。ただし、可変速度移流方程式については、チェーンルールを適用することによって導入される追加の「ソース項」のために、保存境界条件をどのように導出できるかがわかりません。この方程式は保守的ですか？もしそうなら、どのように正しい境界条件を適用できますか？

輸送の基本的な量であるフラックス、移流のため。発散定理は、$\mathbf v u$

$$\int_\Omega \nabla\cdot (\mathbf v u) = \int_{\partial \Omega} (\mathbf v u) \cdot \mathbf n .$$

この等式が保存されている場合、方程式は保守的です。 1Dにドロップし、方程式、$\Omega = (a,b)$$u_t + (\mathbf v u)_x = 0$

$$\Big(\int_a^b u\Big)_t = \int_a^b u_t = -\int_a^b (\mathbf v u)_x = -\mathbf v u |_a^b$$

ここで、右側の用語は、左右の境界間のフラックスの差にすぎません。

2番目の観察に関して、非保守的（非発散）の形式は誤解を招きます（そして、スムーズなソリューションに対してのみ正当化されます）。製品あるない場合は保守的な輸送発散フリー（1Dにおけるすなわち、定数）ではありません。保存的な形式を固守し、保存プロパティを評価するときにチェーンルールを適用する衝動に抵抗する必要があります。$\mathbf v \cdot \nabla u$$\mathbf v$