LSEの解の事前調整と精度への影響

数値解析に関する私のコースでは、線形方程式系の前処理の主な主な動機は、そのLSEの反復ソルバーの収束率を上げることであると教えられました。

しかし、計算された解の精度に影響はありますか？

GolubとVan Loanによる行列計算（p。122）にある、ガウスの消去法の計算解の精度に関する結果を覚えています。（特定のノルムに関する）条件数は、そのアルゴリズムによって計算される数値解の精度に実際に影響します。

例えば、共役勾配法によって得られる解についても、同様のことが当てはまると期待できます。私はこれを計算実験で観察したと思います。いくつかの停止基準が満たされるまで（長い）条件なしのシステムで共役勾配法を実行すると、計算された解は依然として高い残差を示しました。したがって、条件数が少ないほど実行時間が短くなるだけでなく、計算されたソリューションの残差（またはエラー）も低くなるのではないかと思います。これは必然的に数値の安定性の問題であり、不正確な算術で作業する必要があることに注意してください。

（私はmath.SEでも同じ質問をしましたが、このサイトの方が適切かもしれません。）

ガウスの消去法の精度は、条件数に関して制限されていません。TrefethenとBau（およびおそらく他の場所）には、行列のサイズに関してガウスの消去法が指数関数的に不安定である、条件の整った行列の例があります。

$A B x$$\kappa(A) \kappa(B)$$\kappa(A B)$

とにかく、事前調整は2つのことを行います。

1. これにより、反復の初期に現れる少数のベクトルで解がよく表現されます。
2. これは、部分空間の最適性を評価するノルムを、残差のノルムよりも誤差のノルムに近づけます。

エラーを小さくするか、残差を小さくするかは、あなた次第です。