剛体運動によってあるセットのポイントを別のセットにフィットさせる

この問題を明確に説明する方法がよくわからないので、ご容赦ください。私は3つの正規直交単位ベクトルと位置、コンピューターグラフィックスの標準的な4x4変換行列のベースを持っています。

また、その空間にいくつかのポイント（オフセット）があり、ワールドスペースに変換します。次に、ポイントがわずかに摂動されます。次に、摂動されたポイントを表すのに最も近い新しい基準を見つけたいと思います。

元のオフセットを尊重したいので、主成分を見つけるのとはまったく異なります。それが理にかなっている場合。新しい各ポイントからそれぞれの開始位置へのスプリングのように。答えは最小二乗問題を解決することだと思いますが、頭が痛いので調べました。

誰かが簡単に説明してくれませんか。私は閉じた形のソリューションを好みますが、反復的なソリューションも大丈夫でしょう。どうもありがとう

IngeSöderkvist（2009）は、特異値分解（SVD）によって剛体運動問題を解決する優れた記事があります。

$\{x_1,\ldots,x_n\}$$\{y_1,\ldots,y_n\}$$R$$d$$x_i$

$x_i,y_i$$R$$3\times 3$$\det(R)=1$

$\overline{x},\overline{y}$$x_i,y_i$$d$

$A = [x_1 - \overline{x},\ldots,x_n - \overline{x}]$$B = [y_1 - \overline{y},\ldots,y_n - \overline{y}]$$SO(3)$$R$$F$、つまり、行列エントリの平方和の平方根（ユークリッドノルムのようですが、行列エントリについて）。

$A,B$$3\times n$$R$$C = BA^T$

$U,V$$S = \text{diag}(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)$$\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3 \ge 0$

$R = U \text{diag}(1,1,\pm 1) V^T$$\det(R) = 1$$\det(UV^T) = 1$

$d = \overline{y} - R\overline{x}$

$R$