高度に振動する積分計算の最新技術とは何ですか？

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1次元と高次元の両方の高度に振動する積分を任意の精度で近似する際の最新技術とは何ですか？

quadrature precision numerical-analysis

— クアドレッセンス
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その悪い..今のところ一般的な方法はありません..多くの試みが、それらは時々失敗することを期待しています...いくつかの記事は、彼らがジャックポットを持っていると主張しますが、それが本当であるには余りにも良い音...それはそうです。

@Gigi：SciCompへようこそ！あなたのコメントは少しあいまいです。高度に振動する積分の近似における最新技術が悪いと思う理由を詳しく説明していただけますか？

— ジェフオックスベリー

確かに、高度に振動する積分の計算にはまだ「魔法の弾丸」はありませんが、私たちは持っているもので間に合わせており、それらが機能する場合は常に感謝しています。

— JM

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私は、立方体（多次元統合）に対して現在行われていることを完全には知らないので、求積式に制限します。

振動積分の求積法には、いくつかの効果的な方法があります。有限振動積分に適した方法があり、無限振動積分のための方法があります。

無限振動積分の場合、使用されるより効果的な方法の2つは、ロングマンの方法と、OouraとMoriによる修正二重指数関数求積法です。（ただし、Arieh Iserlesによるこれら2つの論文も参照してください。）

ロングマンの方法は、積分区間を分割して振動積分を交互系列に変換し、次に交互変換系列をシーケンス変換法で合計することに依存しています。たとえば、次の形式の振動積分を積分する場合

\int_{0}^{\infty} f （ t ） 罪 t d t

$\int_0^\infty f(t)\sin\,t\mathrm dt$

これを交互の合計に変換します

\sum_{k = 0}^{\infty} \int_{k π}^{（ k + 1 ） π} f （ t ） 罪 t d t

$\sum_{k=0}^\infty \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} f(t)\sin\,t\mathrm dt$

この交互合計の項は、Rombergスキームやガウス求積法などの求積法で計算されます。ロングマンの元の方法ではオイラー変換が使用されていましたが、最新の実装ではオイラーがシャンクス変換やレビン変換などのより強力な収束加速方法に置き換えられました。

二重指数直交方法は、他の一方で、変数の巧妙な変更を行い、その後、数値変換の積分を評価するために台形公式を使用しています。

有限振動積分の場合、Piessens（QUADPACKの貢献者の1人）とBrandersは2つの論文で、Clenshaw -Curtis求積法の修正（つまり、被積分関数の非振動部分のチェビシェフ多項式展開の構築）を詳述しています。一方、レビンの方法は、求積法にコロケーション法を使用します。（古いスタンバイであるFilonの方法のより実用的なバージョンがあると言われていますが、私はそれを経験していません。）

これらは私が覚えている方法です。私は振動積分のための他の良い方法を忘れていると確信しています。それらを覚えていれば、後でこの回答を編集します。

— JM
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$\sin(t)$ $\exp(it)$ $J_0(t)$ $\exp(i g(t))$ $w(t)$

最初に、振動積分法は特定の発振器に焦点を合わせました。JMは、前記顕著なものは、ファイロンの方法、有限範囲の積分用Clenshaw・カーティス法（これら二つの密接に関連している）、及び直列外挿に基づく方法および無限範囲積分用大浦と森の二重指数関数的方法が挙げられます。

最近、いくつかの一般的な方法が発見されました。2つの例：

$\exp(i g(t))$ $w(t)$
被積分関数が非振動である複雑な経路に沿った分析的継続に基づくHuybrechs and Vandewalleの方法（Huybrechs and Vandewalle 2006）。

コンパクト化変換は無限範囲積分に適用できるため、一般的な方法で対処できる有限範囲振動積分が得られるため、より一般的な方法では有限範囲積分と無限範囲積分の方法を区別する必要はありません。別のオシレーター。

Levinの方法は、次元やその他の方法を反復することで複数の次元に拡張できますが、私が知る限り、これまでの文献に記載されているすべての方法は、1次元のサンプルポイントまたは他の何かの外積であるサンプルポイントを持っています次元とともに指数関数的に成長するため、急速に手に負えなくなります。高次元のより効率的な方法は知りません。高次元のまばらなグリッド上にサンプルが見つかった場合は、アプリケーションで役立ちます。

より一般的なメソッドの自動ルーチンを作成することは、通常、関数/ルーチンとして被積分関数をプログラムし、それを積分ルーチンに渡すと予想されるほとんどのプログラミング言語（C、Python、Fortranなど）では難しい場合があります。一般的な方法では、被積分関数の構造（どの部分が振動的に見えるか、どのような種類の振動子かなど）を知る必要があり、それを「ブラックボックス」として扱うことはできません。

— アンドリュー・モイラン
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Huybrechs / Vandewalleの論文はまだ見たことがないので、+ 1します。これは、漸近展開がHuybrechs / Vandewalleに関与していないことを除いて、特別な機能を評価するためにTemmeなどによって行われた研究に似ています。さらに、数人のソルバーによるトレフェステンの100桁チャレンジの最初の問題に対しても、同様のアプローチが行われたと思います。

— JM

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Marnix Van Daeleと共著者の作品をチェックすることもできます。たとえば、thisおよびthisを参照してください。

— GertVdE
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