2次の六面体有限要素には8ガウスポイントが必要ですか？

非物理モードを導入せずに、8ガウスポイント未満の六面体有限要素の2次精度を取得することは可能ですか？単一の中央ガウスポイントは非物理的なせん断モードを導入し、8ガウスポイントの標準的な対称配置は、四面体の離散化と比較して高価です。

編集：誰かが方程式を求めました。私が興味を持っている方程式は、動的または準静的な非線形弾性です。準静的方程式は

\nabla \cdot P (\nabla ϕ) = 0

$\nabla \cdot P\left(\nabla \phi \right) = 0$

$\phi : \Omega \to \mathbf{R}^3$ $\Omega \subset \mathbf{R}^3$ $P : \mathbf{R}^{3 \times 3} \to \mathbf{R}^{3 \times 3}$

P (F) = μ (F - F^{- T}) + λ F^{- T} \log det F

$P(F) = \mu (F - F^{-T}) +\lambda F^{-T} \log \det F$

finite-element accuracy

— ジェフリーアーヴィング
ソース

正確に何をシミュレートしていますか？

— Dan

現時点では線形弾性ですが、問題は一般的に非線形弾性についてです。

— Geoffrey Irving

「非物理的」の定義はそれらに依存するため、おそらく興味のある方程式を含める必要があります。または、少なくとも「物理的」である関数の空間を正確に定義します。

— David Ketcheson、2012年

方程式が追加されました。

— ジェフリーアービング

dPhi / dxでは、勾配を意味しますか？

— Wolfgang Bangerth 2012年

回答:

有限要素固体力学シミュレーションに関する限り、安定化力を使用せずに8つ未満の直交点を使用することはできません。非圧縮性材料（あなたの場合）の場合、正確な目的のための最良の解決策は、混合製剤を使用することです。：あなたはシモとヒューズの著書を参照することができhttp://books.google.fr/books/about/Computational_inelasticity.html?hl=fr&id=ftL2AJL8OPYC。

— ニコラ・タルデュー
ソース

一般に、セルあたりの直交点が自由度よりも少ないと回避できないことは比較的明らかです。3Dの六面体の3重線形要素の場合、8自由度（頂点ごとに1つ）があるため、直交点の最小数も8になります。

これは可逆的ではないため、完全に役に立たない。その理由は、1点求積式では、求積点で同じ値を持つすべての線形関数（試行空間の一部）を区別できないためです。つまり、中点ルールの場合、形状関数「x」は関数「0」は関数「-x」と同じです。言い換えると、試用空間の次元は2であり、正確な積分が行われますが、中間点のルールでは、2自由度があっても、空間の次元は1です。これは、ユニソルベントではない空間の定義です。）中点ルールの場合、形状関数「x」は関数「0」は関数「-x」と同じです。言い換えると、試用空間の次元は2であり、正確な積分が行われますが、中間点のルールでは、2自由度があっても、空間の次元は1です。これは、ユニソルベントではない空間の定義です。）中点ルールの場合、形状関数「x」は関数「0」は関数「-x」と同じです。言い換えると、試用空間の次元は2であり、正確な積分が行われますが、中間点のルールでは、2自由度があっても、空間の次元は1です。これは、ユニソルベントではない空間の定義です。）

— ヴォルフガングバンガース
ソース

ジェフの質問はもっと微妙だと思います。適切な形状のドメイン内の四面体の連続有限要素空間（たとえば、孤立要素なし）の場合、統合が不十分な単一点の求積法を回避できます。問題は、六面体要素と何らかの方法で不完全統合することも可能かどうかです。答えはわかりませんが、直角位相ポイントは余分なメモリモーションを必要としないため、それがどれほど大きいかはわかりません。有限要素の残差評価をベクトル化すると、それがメモリにバインドされるのが一般的であるため、フロップを使用したほうがよい場合があります。

— Jed Brown

記憶運動についての良い点。

— Geoffrey Irving

Jedの点を拡張すると、上記の「明白な」引数がfalseである理由は、各直交点が行列を見るからです。四面体の場合、これは、エネルギーや力に影響を与えない均一な並進を除く、頂点のすべての動きをカバーするため、1次の点で1次精度で十分です。

3 \times 3

$3 \times 3$

— Geoffrey Irving

コメントに改行を含めることができないことはむしろ不便です。

— Geoffrey Irving

@JedBrown：良い点。tetsの線形関数の勾配は定数であるため、質量行列に対して作成した引数に従って、1つの求積点で十分です（剛性行列は勾配の質量行列です:-)。一方、六面体上の三次関数の勾配は（異方性）二次関数なので、座標方向ごとに1つ以上の直交点が必要です。

— Wolfgang Bangerth 2012年