大きな密な低ランク割り当て問題

$\max_\pi \sum_i A_{\pi i,i}$ $\pi$ $1:n$

ここで、 $A$ は低ランク $n\times n$ 行列です。典型的なサイズは（おそらくはるかに大きい）、です。 $r$ $n=10000~~$ $r=15$

optimization

π i

$\pi i$ あなたが製品を意味していますように異なるため、マトリックスを通して、あなたしているストライド

π

$\pi$ ？

— Bill Barth 2013年

π

$\pi$ はすべての順列に対して実行されます。

— Arnold Neumaier 2013年

では、

すべきではない

A_{π (i), i}

$A_{\pi(i),i}$ でしょうか？

— ジャックポールソン2013年

@JackPoulson：

\i (i)

$\i(i)$ と

π i

$\pi i$ は、順列

での

の画像の2つの異なる表記法です。

i

$i$

π

$\pi$

— Arnold Neumaier 2013年

興味深い質問です！ストレージの理由だけで低ランク構造を活用しようとしていますか？つまり、従来の割り当てアルゴリズムを適用するときにマトリックス全体を形成する必要をなくすためですか？または、低ランクを利用して検索を高速化する方法を探していますか？

— Michael Grant

以来、と、我々はここで、は対応する置換行列です。 $A=R_1R_2^T$ $R_1, R_2\in \mathbb{R}^{n \times r}$

\sum_{i} A_{π i, i} = \sum_{i} (P_{π} A)_{i, i} = trace (P_{π} R_{1} R_{2}^{T})

$\sum_i A_{\pi i, i} = \sum_i (P_{\pi} A)_{i, i} = \text{trace}(P_{\pi}R_1R_2^T)$

P_{π}

$P_{\pi}$

π

$\pi$

いずれかのため、トレースは次のように計算することができる（この数量は、フロベニウス積、とも呼ばれます）。 $\pi$

trace (P_{π} R_{1} R_{2}^{T}) = \sum_{i} \sum_{k} (P_{π} R_{1})_{i, k} (R_{2}^{T})_{k, i} = \sum_{i, k} ((P_{π} R_{1}) \circ R_{2})_{i, k} .

$\text{trace}(P_{\pi}R_1R_2^T) = \sum_{i} \sum_{k} (P_{\pi}R_1)_{i,k} (R_2^T)_{k,i} = \sum_{i,k} ((P_{\pi}R_1)\circ R_2)_{i,k}.$

P_{π} R_{1} : R_{2}

$P_{\pi}R_1:R_2$

このアイデアは、すべての順列とブルートフォース検索をすべてのフロベニウス積の最大値で実行する必要があるという負担を取り除きません。実際、を明示的に計算と同じ計算の複雑さを持っています。ただし、実際にを作成する必要がないため、メモリ要件ははるかに低くなります。 $A=R_1R_2^T$ $A$

— ニコ・シュレーマー
ソース