困難な振動積分の数値積分の方法

以下の積分を数値的に評価する必要があります。

ここで、、と。ここで、は第2種の修正ベッセル関数です。私の特定のケースでは、、およびです。のx∈R+λ、κ、ν>0Kλ=0.00313κ=0.00825ν=$E(r) = r^4 (\lambda\sqrt{\kappa^2+r^2})^{-\nu-5/2} K_{-\nu-5/2}(\lambda\sqrt{\kappa^2+r^2})$$x \in \mathbb{R}_+$$\lambda, \kappa, \nu >0$$K$$\lambda = 0.00313$$\kappa = 0.00825$$\nu = 0.33$

私はMATLABを使用していますが、組み込み関数integralおよびを試してみましたがquadgk、これにより多くのエラーが発生します（以下を参照）。私は当然、部品ごとの積分やからへの積分の加算など、他にも多くのことを試しました。（K + 1 ）のx $kx\pi$$(k+1)x\pi$

だから、次に試すべき方法について何か提案はありますか？

更新（追加の質問）
@Pedroのリンク先の論文を読みましたが、理解するのが難しいとは思いません。ただし、いくつか質問があります。

• 説明した単変量レビン法でを基底要素として使用しても大丈夫でしょうか？ψ $x^k$$\psi_k$
• 振動の周波数が固定されているので、代わりにFilonメソッドだけを使用できますか？

サンプルコード
>> integral(@(r) sin(x*r).*sqrt(E(r)),0,Inf)
Warning: Reached the limit on the maximum number of intervals in use. Approximate
bound on error is 1.6e+07. The integral may not exist, or it may be difficult to
approximate numerically to the requested accuracy.
> In funfun\private\integralCalc>iterateScalarValued at 372
In funfun\private\integralCalc>vadapt at 133
In funfun\private\integralCalc at 84
In integral at 89

ans =

3.3197e+06

独自の積分器を作成しました。これquadccは、Matlab積分器よりも特異性が大幅に優れており、より信頼性の高いエラー推定値を提供します。

あなたの問題にそれを使用するために、私は次のことをしました：

>> lambda = 0.00313; kappa = 0.00825; nu = 0.33;
>> x = 10;
>> E = @(r) r.^4.*(lambda*sqrt(kappa^2 + r.^2)).^(-nu-5/2) .* besselk(-nu-5/2,lambda*sqrt(kappa^2 + r.^2));
>> sincp = @(x) cos(x)./x - sin(x)./x.^2;
>> f = @(r) sincp(x*r) .* r .* sqrt( E(r) );

これで関数fが被積分関数になりました。古い値をに割り当てたばかりであることに注意してくださいx。

無限ドメインで統合するために、変数の置換を適用します：

>> g = @(x) f ( tan ( pi / 2 * x ) ) .* ( 1 + tan ( pi * x / 2 ).^2 ) * pi / 2;

gf$\infty$g

次に、両端のsをquadcc処理できる独自のインテグレーターを呼び出しNaNます。

>> [ int , err , npoints ] = quadcc( g , 0 , 1 , 1e-6 )
int =
  -1.9552e+06
err =
   1.6933e+07
npoints =
       20761

誤差の見積もりは膨大であることに注意してください。つまりquadcc、結果にあまり自信がないことに注意してください。ただし、関数を見ると、実際の積分値の3桁上の値で振動するため、これは驚くことではありません。繰り返しますが、異なる間隔変換を使用すると、より良い結果が得られる場合があります。

また、このようなより具体的なメソッドを参照することもできます。それはもう少し複雑ですが、間違いなくこのタイプの問題には正しい方法です。

ペドロが指摘しているように、レビン型の方法は、この種の問題に対して最も確立された方法です。

Mathematicaにアクセスできますか？この問題に対して、Mathematicaはデフォルトでそれらを検出して使用します：

In[1]:= e[r_] := 
 r^4 (l Sqrt[k^2 + r^2])^(-v - 5/2) BesselK[-v - 5/2, l Sqrt[k^2 + r^2]]

In[2]:= {l, k, v} = {0.00313, 0.00825, 0.33};

In[3]:= Block[{x = 10}, 
 NIntegrate[Sinc'[x r] r Sqrt[e[r]], {r, 0, \[Infinity]}, 
  PrecisionGoal -> 3]]

Out[3]= -112494.

以下は、xの値の範囲にわたるプロットです。

In[4]:= ListLinePlot[
 Table[NIntegrate[Sinc'[x r] r Sqrt[e[r]], {r, 0, \[Infinity]}, 
   PrecisionGoal -> 3], {x, .5, 10, 0.1}]]

また、適用する特定のレビン型の方法を手動で指定することもできます。この場合、パフォーマンスがわずかに向上します。

In[5]:= method = {"LevinRule", "Kernel" -> {Cos[r x], Sin[r x]}, 
   "DifferentialMatrix" -> {{0, -x}, {x, 0}}, 
   "Amplitude" -> {(
     3497.878840962873` Sqrt[(
      r^4 BesselK[-2.17`, 
        0.00313` Sqrt[
         0.00006806250000000001` + r^2]])/(0.00006806250000000001` + 
        r^2)^1.415`])/
     x, -((3497.878840962873` Sqrt[(
       r^4 BesselK[-2.17`, 
         0.00313` Sqrt[
          0.00006806250000000001` + r^2]])/(0.00006806250000000001` + 
         r^2)^1.415`])/(r x^2))}, "AdditiveTerm" -> 0};

In[6]:= Block[{x = 10}, 
 NIntegrate[Sinc'[x r] r Sqrt[e[r]], {r, 0, \[Infinity]}, 
  PrecisionGoal -> 3, Method -> method]]

Out[6]= -112495.

Mathematicaのレビン型メソッドの詳細については、ドキュメントを参照してください。

Mathematicaにアクセスできない場合は、Pedroが示唆するように、Matlabでレビン型（または他の特殊な振動）メソッドを書くことができます。

Matlabにchebfunライブラリを使用していますか？ここに、基本的なレビン型メソッドの実装が含まれていることを学びました。実装は、Olver（振動求積法分野の専門家の1人）によって書かれています。それは特異点、適応細分化などを扱いませんが、始めるために必要なものだけかもしれません。

Pedroが推奨する変換は素晴らしいアイデアです。Matlabの「quadgk」関数のパラメーターをいじってみましたか？たとえば、ペドロの変換を使用して、次の操作を行うことができ
quadgk(f, 0.0+eps, 1.0-eps, 'AbsTol', eps, 'MaxIntervalCount', 100000)
、これを使用すると、私の解決策を与える：
-2184689.50220729
とわずか0.8秒かかります（上記の値を使用します。x = 10）
ウォルター・ガンダーとウォルター・ガウツシーは、MATLABに適応直角に紙を持っています同様に使用できるコード（リンクはこちら）