確率変数の関数の偏微分の近似

ましょ伊藤プロセスである D X T = A （X T、T ）のD T + B （XはT、T ）D W T ここでW Tウィーナー過程です。$X_t$

$$dX_t=a(X_t,t)dt + b(X_t,t)dW_t$$ $W_t$

この方程式の解の数値近似は、ミルスタインによって提案されています。

$$X_T=X_t+a(X_t,t) \Delta t+ b(X_t,t)\Delta W_t+ \frac{1}{2}b(X_t,t) \frac{\partial{b(X_t,t)} }{\partial{x}} \left( \Delta W_t^2 - \Delta t\right)$$

どこ

$\Delta t = T-t$

$\Delta W_t = W_T-W_t$

：文献とよれば、これは近似介し誘導体フリースキーム（プラテン明示的な順序1強い方式として知られる）に変換することができる

$$b(X_t,t) \frac{\partial{b(X_t,t)} }{\partial{x}} \approx \frac{b(X_t+a(X_t,t) \Delta t+ b(X_t,t)\sqrt{\Delta t},t)-b(X_t,t)}{\sqrt{\Delta t}}$$

（参照：2001、Kloeden、「確率微分方程式の数値法の簡単な概要」）

偏微分のこの近似がどのように得られるかを誰かが理解するのを助けることができますか？

ありがとう

これについては、クローデンとプラテンの 11.1節「確率微分方程式の数値解」で説明しています。そこでそれは述べています：

$$\frac{1}{\sqrt\Delta}\left\{b(\tau_n,Y_n + a\Delta + b\sqrt\Delta) - b(\tau_n,Y_n)\right\}$$ $b\frac{\partial{b}}{\partial{x}}$$(\tau_n,Y_n)$

$dW$$\sqrt{\Delta t}$$\Delta t$$b$$\sqrt{\Delta t}$

もちろん、それは単なる直感です。Klodenの確率微分方程式の数値解法と確率的部分分化のためのテイラー近似は、より厳密にこれを行います。