線形制約による凸関数の最大化（凹関数の最小化）

問題は

ここで、$f(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^N\sqrt{1+\frac{x_i^4}{(\sum_{i=1}^{N}x_i^2)^2}}$、
$\mathbf{x} = [x_1,x_2,...,x_N]^T \in \mathbb{R}^{N\times 1}$、および
$\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{M\times N}$

$f(.)$は\ sqrt {1 + y ^ 2}の形式で$\sqrt{1+y^2}$あり、凸関数であることがわかります。
f（。）が[\ sqrt {2}、2]で囲まれていることを示すこともできます$[\sqrt{2}, 2]$。

これは、線形制約のある凸最小化問題です。

これらの種類の問題を解決するために使用される標準アルゴリズムはどれですか？

問題の特定の性質を使用して、標準的な最適化ソフトウェア/パッケージを使用してそれを解決することは可能ですか？

問題の構造を利用することはできますが、あらかじめパッケージ化されたソルバーがそうすることはありません。

基本的に、求めているのは、凸多面体（または凸多面体）に対する凹関数を最小化することです。簡単な検索でいくつかの関連ソースが見つかりました（4年以上前に非線形プログラミングのクラスを受講したときに、これらの1つが言及されたことを漠然と覚えています）。

Falk、JE、およびHoffman、KL 崩壊ポリトープによる凹面の最小化、Operations Research、1986年、Vol。34、No。6、p。919-929。

Hoffman、KL 凸集合に対して凸関数をグローバルに最小化する方法、数学プログラミング、1981、Vol。20、p。22-31。

Benson、HP 多面体上の凹型最小化の有限アルゴリズム、Naval Research Logistics、1985、Vol。32、No。1、p。165-177。

Christophe MeyerのWebサイトに関する参考文献の集まり。

あなたがグーグル「多面体上の凹関数を最小化する」（または「多面体」を「多面体」で置き換える）ならば、もっと多くの出典があります。

私は数年前に最適化についての講義に出席しました。当時は、MATLABをYALMIPと組み合わせて使用​​していました。

YALMIP Wiki

この問題は、凸関数（DC）プログラミング問題の違いと見なすことができます。DCプログラミングに関する広範な文献があり、そこで関連研究を検索できます。最もよく知られている方法の1つはDCA法です。たとえば、http：//lma.univ-pau.fr/meet/mamern09/en/Lethi-MAMERN09.pdfを参照して ください。

DCの文献をある程度調査し、役に立つかもしれない別の最近の論文は、https：//arxiv.org/pdf/1511.01796.pdfです 。

また、滑らかではない問題に対して、より一般的な方法を使用することもできます。たとえば、http：//num.math.uni-goettingen.de/~ssabach/BST2013.pdfにあるproxベースの方法です。

私は提供したいフランク・ウルフアルゴリズムご検討および関連する方法を。基本的に、目的関数を線形化し、各反復で結果のLPを解きます。ただし、このアプローチを効果的にするには、に境界を追加する必要があると思います。$x$