コレスキー因子の計算

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したがって、コレスキー分解の定理は、任意の実対称正定行列がコレスキー分解持っていると述べています。ここで、は下三角行列です。 $M$ $M= LL^\top$ $L$

与えられた場合、コレスキー因子を計算する高速アルゴリズムがあることはすでにわかっています。 $M$ $L$

ここで、長方形の行列が与えられ、が正定であることを知っていたとします。明示的に計算してからコレスキー分解アルゴリズムを適用せずに、のコレスキー因子を計算する方法はありますか？ $m\times n$ $A$ $A^\top A$ $L$ $A^\top A$ $A^\top A$

が実行する非常に大きな長方形行列である場合、は明らかに非常に高価であるため、問題になります。 $A$ $A^\top A$

linear-algebra algorithms

— にこやか
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クロス積マトリックスを形成するための費用以上に、このアプローチは条件数を二乗します。あなたの場合はほぼランク不足で、これは確かに進めるための貧弱な方法です。

A

$\mathbf A$

A

$\mathbf A$

— JM

この質問とこの質問は、同じことを異なる方法で尋ねます。これらのスレッドの回答（および以下の回答）は役に立つはずです。

— ダミアン

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はい、QR分解を使用して係数（エントリの符号まで）を取得できます。この答えをご覧ください。を含む正規方程式を導く最小二乗問題を解くことに関心がある場合は、QR分解を直接使用できることに注意してください。 $A^T A$

— クリスチャン・クラソン
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はい。分解を計算し、を取ります。必要に応じての行を再スケーリングし（符号の一部を変更して）、対角の符号を非負にします（コレスキー係数は非負の対角を持つように定義されているため）。 $QR$ $L=R^T$ $R$

スパースQR分解については、たとえば、http：//dl.acm.org/citation.cfm？id = 174408を参照してください

— アーノルド・ノイマイアー
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