VEGASのリビニングアルゴリズム

私はVEGAS（元の出版物（LKlevinからのプレプリント）と実装ノート）のモンテカルロ統合のリビニングアルゴリズムを理解しようとしています。私が最初に理解したと思うことを説明してから、質問をします。

簡単にするために、区間全体で正である1次元関数があると仮定します。この間隔は、たとえばビンに分けられます。これらのビンは、最初は同じサイズです。ビンサイズは確率密度を定義します $f(x)$ $[0,1]$ $n$ $\Delta x_i$

ρ （ バツ ） = {\begin{cases} 0 \leq バツ < Δ {バツ}_{1} ： \frac{1}{ん Δ {バツ}_{1}} \\ ⋮ \\ Δ {バツ}_{ん - 1} \leq バツ < Δ {バツ}_{ん} ： \frac{1}{ん Δ {バツ}_{ん}} \end{cases} 。

$\rho(x) = \begin{cases} 0 \le x < \Delta x_1 : \frac{1}{n \Delta x_1} \\ \vdots \\ \Delta x_{n-1} \le x < \Delta x_n : \frac{1}{n \Delta x_n} \end{cases} .$

適切に正規化するには、ビンのサイズを合計して間隔の長さにする必要があります。 $\rho(x)$

Σ_{私 = 1}^{ん} Δ {バツ}_{私} = 1 \Rightarrow \int_{0}^{1} d バツ ρ （ バツ ） = 1。

$\sum_{i=1}^n \Delta x_i = 1 \quad \Rightarrow \quad \int\limits_0^1 \mathrm{d}x \, \rho(x) = 1.$

分布からランダムに選択した数値を使用して VEGAS は積分の近似を計算します： $N$ $\{ x_i \}$ $\rho(x)$ $S^{(1)}$

S^{（ 1 ）} = \frac{1}{N} \underset{{{バツ}_{私}}}{Σ} \frac{f （ {バツ}_{私} ）}{ρ （ {バツ}_{私} ）} \approx \int_{0}^{1} d バツ f （ バツ ）

$S^{(1)} = \frac{1}{N} \sum_{\{x_i\}} \frac{f(x_i)}{\rho(x_i)} \approx \int\limits_0^1 \mathrm{d}x \, f(x)$

これまでは、可変サイズのグリッドを使用した重要度サンプリング（私は層別サンプリングには興味がありません）にすぎません。VEGASの興味深い部分は、リビニングアルゴリズムです。つまり、前の反復で累積された関数値に応じてビンサイズを再計算するアルゴリズムです。

各ビンについて、2乗された関数値（？）が合計されます（元の出版物では絶対値が合計されています）。
また、「急速で不安定な変更を回避する」ために、各値に適用されるダンプニング関数もあります。
その後、各値は隣接するビンで平滑化されます。これにより、特定の関数のリビニングアルゴリズムにもある程度の安定性が追加されると思います（ただし、その理由は説明できません）。最終的な値をとしましょう。 $b_i$
ビンのサイズは、すべての新しいビンにほぼ平均が含まれるように設定されました。

\bar{b} = \frac{1}{ん} Σ_{私 = 1}^{ん} b_{私}

$\overline{b} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n b_i$

このアルゴリズムにより、ビンは関数が「小さい」場合は大きくなり、関数が「大きい」場合は小さくなります。小と大は互いに関連して理解されます。たとえば、関数の最大値は「大」と見なされ、それ以外はすべて「小」と見なされます。ポイントが任意のビンに到達する確率は等しい（VEGASはこの動作を示すように記述されている）ため、関数は最も大きい場所で最も多くサンプリングされ、それによってエラーが減少します。 $x$

なぜそのように書かれているのですか？たとえば、平均化およびビニングされた関数を次の反復の確率密度として使用するなどして、問題に直接対処しないのはなぜですか？

monte-carlo

— cschwan
ソース

元の出版物へのリンクを追加する必要があります。さらに、「隣接するビンで大きく異なる機能」とはどういう意味ですか？小さな関数とは何ですか？大きな機能とは？

— vanCompute 2012年

あなたの質問が何であるかよくわからない。絶対値が合算されるという問題はありますか？

— LKlevin 2015

@LKlevin：さて、二乗された値は合計されます。これは、元の出版物に書かれているもの（絶対値の合計）とは異なります。しかし、これは実際にはほとんどの被積分関数に対してより良い収束をもたらすためだと思います。しかし、それはなぜですか？彼らはそれを経験に基づいてやったのでしょうか、それとも適切な説明がありますか？また、絶対値の代わりに二乗を合計すると、このアルゴリズムがまったく安定しない理由もわかりません。より良いリビニングアルゴリズムを見つけようとしましたが、因数分解できない被積分関数の安定したアルゴリズムを見つけるのは不可能のようです。なぜそんなにいいの？

— cschwan 2015

免責事項：私は一般にモンテカルロアルゴリズムに非常に精通していますが、具体的にはVEGASアルゴリズムには精通していません。

VEGASアルゴリズムは、モンテカルロ積分の分散を最小化する正確な確率密度を知っている場合、関数fの正確に1つの評価を使用して答えを得ることができるという事実に基づいています。

これは

p （ バツ ） = \frac{| f （ バツ ） |}{\int_{Ω} | f （ バツ ） | d バツ}

$p(\mathbf{x}) = \frac {|f(\mathbf{x})|} {\int_\Omega |f(\mathbf{x})| d\mathbf{x}}$

確率密度はわかりません。正確に推定することは、高次元の関数では大量のメモリをすぐに占有するため、現実的ではありません。

代わりに、VEGASアルゴリズムはそれをMステップの区分的定数関数として近似します。

完全な記事にアクセスできないと思いますか？元の記事では二乗関数を使用していませんが、絶対関数を使用しています（プレプリントバージョンはここにあります）。

これがあなたの質問の答えに役立つことを願っています。元の記事はこれのほとんどに答えているので、取得する価値があるかもしれません

— LKlevin
ソース