双曲線PDEに使用すべき時間積分法はどれですか？

双曲線PDEの離散化（時間と空間の個別の離散化）に線の方法を使用する場合、お気に入りの数値法（fx。有限体積法）による空間的離散化の後に得られるのは、実際に時間的離散化に使用するODEソルバーです（TVD / SSP /など）？

いくつかの追加情報が追加されました。精度の問題は、滑らかでない問題の問題になる可能性があります。初期解が滑らかであるにもかかわらず、非線形双曲線PDEが有限時間で衝撃を発生させる可能性があることは知られています。

ODE安定性解析は通常、線形化に基づいて行われ、q_t = J q（qa摂動ベクトル）の形式のODEの線形半離散システムを取得します。ここで、Jの固有値は、選択した時間の絶対安定領域ステッピング方法。代替戦略は、安定性解析のために擬似スペクトルまたはエネルギー法を使用することです。

TVD / SSPメソッドの動機は、非物理的な動作を引き起こす可能性のある時間ステップメソッドによって引き起こされるスプリアス振動を回避することです。問題は、たとえば、明示的なルンゲクッタ法などの古典的な作業馬と比較して、これらのタイプの時間ステップ法が優れていることを経験が示しているかどうかです。明らかに、ソリューションにはショックが現れる可能性のある問題のクラスに対して、より良いプロパティが必要です。したがって、時間積分にはこれらのタイプの方法のみを使用する必要があると主張できます。

あなたがまだ答えに興味があるかどうかはわかりませんが、とにかくここに行きます：

非線形方程式の衝撃波形成について知っていると既に述べました。だからこそ、タイムインテグレーターを慎重に選択する必要があります。時間の離散化が行われていない場合、TVD空間離散化を適用しても意味がありません。おそらく、高次の数値フラックスで見たのと同じ振動が見られます。

つまり、フォワードオイラーが機能するということです。あなたはすでにあなたの質問でSSP（強い安定性の保持）について言及しました。これは、それを利用するRunge-Kuttaメソッドの特別なクラスです。基本的には、オイラーステップの凸の組み合わせとして記述できるように、メソッドの係数を選択する必要があります。これにより、TVDなどのプロパティが保持されます。

Gottlieb、Ketcheson、およびShuによるSSPメソッドに関する非常に良い本があります。「強い安定性の保持ルンゲクッタとマルチステップ時間離散化」というAmazon リンク

はい、それは重要です。懸念される通常の2つのこと：

1. 正確さ。一部のODEスキームは、他のスキームよりも正確であり、高次などです。経験則では、空間離散化と同様の精度の順序でメソッドを選択します。

2. 安定。双曲線問題の場合、演算子は純粋な虚数固有値を持つことが期待されるため、安定領域に虚数アクセスの一部を含むODEソルバーが必要です。Fornbergの付録G「擬似スペクトル法の実用ガイド」を参照してください。

双曲線方程式では、解が常に正であることを保証したい人がいるため、これを保証するためのさまざまな種類のフィルターとトリックがあります。しかし、私はこれについてほとんど何も知りません。

私は専門家とは程遠いですが、質問はしばらくここにあったので、答えようと思った。