任意精度のスケーラブルロープシミュレーション

ロープオブジェクトをシミュレートしようとしています。私が理解している定式化は、スプリングで接続された粒子の配列です。これらのスプリングのk値は非常に大きいため、線は変形しますが、伸びはほとんどありません。ロープは振り子の一般化であるため、これを時間の関数として解決することは閉じた形式では不可能であると結論付けました（閉じた形式ではありません）。

それから、近似解に落ち着きます。拡張性の高いアルゴリズムが必要です。例では、明示的または暗黙的なオイラー積分を使用して粒子を移動しています。これはスケーリングしません。

これを確認するには、n個のノードを持つロープを考えてください。一端に大きな力を加えます。ロープはあまり伸びてはならないので、もう一方の端の加速はすぐに行わなければなりません。

しかし、オイラーの統合で、取得する任意のもう一方の端は、n個のステップを必要とする力を。指数関数的な減衰に気付きます。最初のノードが特定の量を加速する場合、隣接ノードの加速は小さくなります（同じ速度で加速する場合、アルゴリズムは安定しません）。その結果、隣接するノードにそのノードがさらに遅く加速します！

したがって、nノード離れている場合、加速はほとんど無視できます。これは、大幅に伸びるロープにつながります。シミュレーションの解像度を2倍にしたいだけの場合、同様の動作を得るには、突然数十または数百倍の時間ステップを踏む必要があります。

この問題を解決する簡単な方法を探しています。つまり、高解像度のシミュレーションは、多項式時間の余分な計算のみで解に収束します。マトリックスと線形代数のテクニックの完全なライブラリが利用可能です。古典力学の私の知識は非常に優れており、数値解析を知っています。

まず第一に、Jed Brownが述べたように、問題が非常に硬い、または少なくとも安定していて、Leapfrog統合やVerlet統合などの同様に単純なスキームのように、暗黙の時間ステップスキームを使用する必要があります。

身体的な問題については、ストレッチングにどの程度興味がありますか？粒子を硬いバネで接続する代わりに、ホロノミック制約を使用できます。たとえば、粒子のペア間の距離が一定であることを確認できます。制約は各タイムステップで解決する必要があり、正確に設定するための効率的なアルゴリズム、つまり制約の長いリンクチェーンが存在します。たとえば、このペーパーを参照してください。

好奇心から、ロープの柔軟性をモデル化するためにロープの長さに沿った角度ポテンシャルも使用していますか？

あなたは持っている硬い現在の製剤を使用してシステムを。弦の動的な伸縮と振動は（おそらく）面白くないですが、明示的な時間ステップを制御します。これは、暗黙的な時間積分法の使用を示しています。減衰を使用して、暗黙的なメソッドの適応型エラー制御を台無しにする傾向がある振動を防ぐことができます。

細かいスケールの振動をステップオーバーしたいにも関わらずモデル化することが重要な場合（疲労モデリングなど）、ヘテロジニアスマルチスケール法（Engquist、Tsaiなど）またはセミマルチ時間スペクトル法。そのような方法の使用は研究レベルのトピックであり、適切であるかどうかを判断するには、問題と方法の機能を十分に理解する必要があります。エネルギーを節約したい場合、たとえば特定の振動モードを消散させたくない場合は、Verletなどのシンプレクティックインテグレーターを検討する必要があります。

必要に応じて、ゼロストレッチの制限を解決することもできます。慣性項を使用すると、モデルを角度の観点から再定式化でき、非剛性ODEシステムになります。faleichikが指摘したように、これはROPEHairer、Nørsett、およびWannerの本で検討されているテスト問題です。ロープ自体の慣性を捨てるが、たるみを許容する場合（一般的なモデルではなく、離散荷重の軽量で伸縮性の低いロープ）、問題は微分変分不等式（DVI）になり、一般に1次精度よりも良くなることはありません時間。

高速で近似的なソリューションに関心がある場合は、離散微分ジオメトリなどのデジタル効果で使用される方法が興味があるかもしれません。私は、コロンビア大学のGrinspunのグループによる2008年の論文Discrete Elastic Rodsの準静的定式化を知っていますが、この領域にはおそらくもっと最近の文献があります。

吊りロープの動きは、「常微分方程式の解法」の第2巻（堅い）と第1巻の第2版（1993）に登場したヘアーとワナーの愛されているテスト問題です。247ページの最後のオプションをお勧めします。方程式は導き出すのが難しく、数値解法のアルゴリズムはそれほど単純ではありません。最後に、DOPRI、RK45、またはODEXのような従来の明示的なタイムステッパーが適用され、動作が非常に良好であるため、問題はそれほど厳しくありません。