なぜODEの数値解は不安定な平衡から遠ざかるのですか？

二重振り子のようなシステムの動作をシミュレートしたいと思います。このシステムは2自由度のロボットマニピュレーターであり、作動しないため、重力の影響を受ける二重振り子のように動作します。二重振り子との唯一の主な違いは、2つの振り子が、質量中心に質量と慣性の特性を持つ2つの剛体で構成されていることです。

基本的ode45に、次のタイプのODEのシステムを解決するためにMatlabでプログラミングしました。

$$\left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & M_{11} & 0 & M_{12}\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & M_{12} & 0 & M_{22} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{x}_1\\ \dot{x}_2\\ \dot{x}_3\\ \dot{x}_4 \end{array} \right]= \left[ \begin{array}{c} x_2\\ -V_1-G_1\\ x_4\\ -V_2-G_2 \end{array} \right]$$

ここで、$x_1$は水平に対する最初の物体の角度、$x_2$は最初の物体の角速度です。$x_3$は第1の物体に対する第2の物体の角度であり、$x_4$は第2の物体の角速度です。すべての係数は、作成した関数rhsとfMass関数の次のコードで指定されています。

clear all
opts= odeset('Mass',@fMass,'MStateDependence','strong','MassSingular','no','OutputFcn',@odeplot);
sol = ode45(@(t,x) rhs(t,x),[0 5],[pi/2 0 0 0],opts);

function F=rhs(t,x)
    m=[1 1];
    l=0.5;
    a=[0.25 0.25];
    g=9.81;
    c1=cos(x(1));
    s2=sin(x(3));
    c12=cos(x(1)+x(3));
    n1=m(2)*a(2)*l;
    V1=-n1*s2*x(4)^2-2*n1*s2*x(2)*x(4);
    V2=n1*s2*x(2)^2;
    G1=m(1)*a(1)*g*c1+m(2)*g*(l*c1+a(2)*c12);
    G2=m(2)*g*a(2)*c12;

    F(1)=x(2);
    F(2)=-V1-G1;
    F(3)=x(4);
    F(4)=-V2-G2;
    F=F';     
end

function M=fMass(t,x)
    m=[1 1];
    l=0.5;
    Izz=[0.11 0.11];
    a=[0.25 0.25];
    c2=cos(x(3));
    n1=m(2)*a(2)*l;
    M11=m(1)*a(1)^2+Izz(1)+m(2)*(a(2)^2+l^2)+2*n1*c2+Izz(2);
    M12=m(2)*a(2)^2+n1*c2+Izz(2);
    M22=m(2)*a(2)^2+Izz(2);
    M=[1 0 0 0;0 M11 0 M12;0 0 1 0;0 M12 0 M22];
end

システムが完全に垂直な位置で開始されるように、$x_1$（水平に対する最初のボディの角度）の初期条件をどのように設定するかに注意してください。このように、重力のみが作用しているため、明らかな結果は、システムがその位置からまったく移動しないことです。

注：以下のすべての図では、時間に対してソリューション$x_1$および$x_3$をプロットしました。

ODE45

で6秒間シミュレーションを実行するode45と、問題のない期待されるソリューションが得られます。システムはそのままであり、移動しません。

ただし、シミュレーションを10秒間実行すると、システムが不当に動き始めます。

ODE23

次にode23、問題を解決するためにシミュレーションを実行しました。私は同じ行動になりますが、今回は1秒後に発散が始まります：

ODE15s

次に、シミュレーションを実行しode15sて、問題が持続するかどうかを確認しました。いいえ、システムは100秒の間でも安定しているように見えます。

それからまた、ode15s最初の注文であり、いくつかの統合手順しかないことに注意してください。そこでode15s、10秒の間に別のシミュレーションを実行しましたが、精度を上げるためMaxStepに$0.01$サイズを使用しましたが、残念ながら、これはとの両方ode45と同じ結果になりode23ます。

通常、これらのシミュレーションの明らかな結果は、システムが混乱しないため、システムが初期位置にとどまることです。なぜこの相違が発生しているのですか？これらのタイプのシステムは本質的に混oticとしているという事実と関係がありますか？これはode、Matlabの関数の通常の動作ですか？

ブライアンとエルトシェムによって2つの主要なポイントがすでに作成されていると思います：初期値は不安定な平衡であり、数値計算が実際に正確ではないという事実は、不安定性を引き起こす小さな摂動を提供します。

これがどのように機能するかについてもう少し詳しく説明するには、一般的な初期値問題の形で問題を検討してください

$$\begin{equation} \dot{\mathbf{y}}(t) = \mathbf{M}^{-1} \mathbf{f}(t, \mathbf{y}(t)) \end{equation}$$ ここで、$\mathbf{y}(t) = (x_1(t), x_2(t), x_3(t), x_4(t))$と

$$\begin{equation} \mathbf{f}(t, \mathbf{y}(t)) = \begin{bmatrix} x_2 \\ -V_1 - G_1 \\ x_4 \\ -V_2 - G_2 \end{bmatrix} \end{equation}$$

正確な算術では、$\mathbf{f}(0, \mathbf{y}_0) = 0$$\dot{\mathbf{y}}(0) = 0$$\tilde{\mathbf{f}}$

コードでは、コンピューティングによってそれをテストできます

norm(rhs(0,[pi/2 0 0 0]))

これにより、6.191e-16が得られます-ゼロではありませんが、ほぼゼロです。それはシステムのダイナミクスにどのように影響しますか？

$\mathbf{f}$$\mathbf{y}_0$$\tilde{\mathbf{y}}_0$。

さらに、ごく短時間のうちに、システムのソリューションは線形化されたシステムのソリューションのようになります

$$\begin{equation} \dot{\mathbf{y}}(t) = \mathbf{f}(0, \mathbf{y}_0) + \mathbf{f}'(0, \mathbf{y}_0) \left( \mathbf{y}(t) - \mathbf{y}_0 \right) = \mathbf{f}'(0, \mathbf{y}_0) \left( \mathbf{y}(t) - \mathbf{y}_0 \right) \end{equation}$$

$\mathbf{f}'$$\mathbf{f}$rhs$\mathbf{y}_0$$\mathbf{d}(t) := \mathbf{y}(t) - \mathbf{y}_0$$\mathbf{d}$

$$\begin{equation} \dot{\mathbf{d}}(t) = \mathbf{f}'(0, \mathbf{y}_0) \mathbf{d}(t). \end{equation}$$

手でヤコビアンを計算するのが面倒なので、自動微分を使用して適切な近似値を取得しました。

$$\begin{equation} \mathbf{J} := \mathbf{f}'(0, \mathbf{y}_0) = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 9.81 & 0 & 2.4525 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 2.4525 & 0 & 2.4525 & 0 \end{bmatrix} \end{equation}$$

あなたの方程式が

$$\begin{equation} \dot{\mathbf{d}}(t) = \mathbf{J} \mathbf{d}(t), \mathbf{d}(0) = \mathbf{\tilde{y}}_0 - \mathbf{y}_0 \end{equation}$$

最後のステップが必要です：ヤコビアンの固有値分解を計算することができます

$$\begin{equation} \mathbf{J} = \mathbf{Q} \mathbf{D} \mathbf{Q}^{-1} \end{equation}$$

$\mathbf{D}$$\mathbf{J}$$\mathbf{Q}$$\mathbf{d}$$\mathbf{e}(t) := \mathbf{Q}^{-1} \mathbf{d}(t)$

$$\begin{equation} \dot{\mathbf{e}}(t) = \mathbf{D} \mathbf{e}(t), \mathbf{e}(0) = \mathbf{Q}^{-1} \mathbf{d}_0. \end{equation}$$

$\mathbf{D}$

$$\begin{equation} \dot{e}_i(t) = \lambda_i e_i(t), e_i(0) = i-\textrm{th component of}~\mathbf{Q}^{-1} \mathbf{d}_0 \end{equation}$$

$i=1,2,3,4$$\lambda_1 = 3.2485$

$$\begin{equation} e_1(t) = e_1(0) e^{3.2485 t}. \end{equation}$$

$\mathbf{d}(0) = 0$$\mathbf{e}(0) = \mathbf{Q}^{-1} \mathbf{d}(0) = 0$$e_1(0) = 0$$e_1(0)$

$\pi/2$$\pi/2$

関数で計算された力の成分を見てください。

他の答えが言ったように、の値を表すことができないため、それらは決して正確にゼロになることはないでしょう。$\pi$ように、コンピューターの算術正確にトリガー関数を計算するルーチンます。

$10^{-16}$開始時には）その不安定な平衡位置からシステムを離れて移動します。

$a = 1.0$$a = a + 10^{-16}$

最初の仮定は、初期位置が運動エネルギーがゼロの安定した平衡状態（つまり、ポテンシャルエネルギーの最小値）にあり、システムが平衡状態から離れ始めたことでした。
物理的には起こりえないので（古典的なメカニズムを考えると）、2つのことが思い浮かびました：

1. $\pi/2$$-\pi/2$

2. 2つ目は、移動の方程式に何らかの問題がある可能性があることです（おそらくどこかにタイプミスがあるのでしょうか？）。方程式を明示的に書いてください。おそらく、角速度がゼロであると仮定して、奇妙なものがあるかどうかを確認し、各振り子の初期位置の関数として角加速度をプロットできます。

二重振り子の詳細を検索する必要があります。それらは、私たちが「カオスシステム」と呼ぶものです。わずかに異なる初期条件から開始する単純なルールに従って動作しますが、ソリューションは非常に速く分岐します。この種のシステムの数値シミュレーションを行うことは簡単ではありません。見てみましょう次のビデオを問題に多くの洞察を得るために。

単純または二重振り子の場合、システムの総エネルギーの式を書くことができます。摩擦力が無視されると仮定すると、この総エネルギーは分析システムによって保存されます。数値的には、これはまったく別の問題です。

二重振り子を試す前に、単純な振り子を試してください。小さな次数のルンゲクッタ法の場合、数値シミュレーションでは一定のままではなく、システムのエネルギーが増大することに気付くでしょう（これはシミュレーションで行われることです：何もせずに動きます）。これを防ぐには、より高次のRKメソッドを使用できます（ode45は4次、8次のRKはより適切に機能します）。数値シミュレーションがエネルギーを節約するように設計された「シンプレクティック法」と呼ばれる他の方法があります。一般に、初期化と比較してエネルギーが大幅に増加したらすぐにシミュレーションを停止する必要があります。

そして、二重振り子に行く前に、単純な振り子を理解してください。