不連続rs ODEの数値手法

不連続な右側のODEの数値解法の最先端の方法は何ですか？私は主に区分的で滑らかな右側の関数、例えばサインに興味があります。

私は次のタイプの方程式を解こうとしています：

\begin{aligned} \dot{バツ} & = v \\ \dot{v} & = {\begin{cases} （ | F_{外部} | - | F_{摩擦} | ） 符号 （ F_{外部} ） & ： | F_{外部} | < | F_{摩擦} | \\ 0 & ： さもないと \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align*} \dot x &= v\\ \dot v &= \begin{cases} (|F_\text{external}| - |F_\text{friction}|) \mathop{\rm sign} (F_\text{external}) & :|F_\text{external}| < |F_\text{friction}|\\ 0 & : \text{otherwise} \end{cases} \end{align*}$

ode

— アンドレイ・シェヴリャコフ
ソース

@AndreyShevlyakovこんにちは、Scicompへようこそ！興味のある特定のクラスのODEがありますか？

— ポール

こんにちはポール！はい、現在、一種のスティックスリップ摩擦モデルを実装しようとしています。

— アンドレイシェヴリャコフ

質問に解きたい方程式を取り入れていただけますか？これにより、問題に該当する特定の方法を絞り込むことができます。

— ポール

私はポストに例を追加しました

— アンドレイShevlyakov

ACSLに取り組んだとき、ルートファインダーが含まれていたため、速度がゼロになった時間を検索し、その時点から新しいrhsで新たに起動することができました。

— マイクダンラベイ

回答:

このトピックに関するDavid Stewartの新しい（2011年の）本「不等式のダイナミクス：影響とハード制約」を参照してください。クーロン摩擦の問題は、分析の章で何度か言及されています。

第8章では、非滑らかなODEとDAEの数値的方法について説明します。ほとんどの場合、非平滑性の特別な処理を伴う完全に暗黙的なルンゲクッタ法を提唱しています。セクション8.4.4に注意してください。非滑らかな点を正確に見つけられない場合、すべてのメソッドは1次精度に低下するため、実際には暗黙のオイラー（非滑らかさを修正した）が一般的です。また、無限次元不等式の問題の解決策は、一般に、区分的理論のみ提供従って、平滑化されていない実際には、しかし、収束 $\mathcal{O}(h)$ $\mathcal{O}(h^{1/2})$ $\mathcal{O}(h)$ よく観察されます。

— ジェド・ブラウン
ソース

まことにありがとうございます！どこかに利用可能な実装があるかどうか知っていますか？

— アンドレイシェヴリャコフ

私が知っていることではありませんが、静的な変分不等式のソルバーがあれば、単純なスキームの実装はそれほど難しくないはずです。

— ジェドブラウン

私が知っている最も重要な参考文献は、20年以上前のDavid Stewartの論文です。

右辺が不連続な常微分方程式の高精度数値法

要約は、いくつかの重要な初期の作品を参照しています。ここでのキーワードは、差分包含です。

— デビッド・ケッチャソン
ソース

$g(t, x(t)) \in \mathbb{R}$ $>0$ $<0$

たとえば、ブロックに移動質量がある場合、質量とブロック間の距離をゼロ交差関数として使用できます。

多くのODEソルバー（たとえば、SUNDIALS CVODE）は、最後のタイムステップでゼロ交差関数のいずれかが符号を変更したかどうかを自動的にチェックします。この場合、ルート検索メソッドを使用して、ルートの正確な位置を決定します。ソルバーは、その特定の位置で再起動できます。これは、ソルバー自体によって自動的に行われるか、呼び出しコードによって手動で行われます。

— フロリアン・ブラッカー
ソース

検索目的の場合：「イベントの場所」について話すこともできます。Hairer /Nørsett/ Wannerがこれについて素晴らしい議論をしています。

— JM