計算科学における「2つは簡単、3つは難しい」の良い例

私は最近、メタ現象の定式化に遭遇しました：「2つは簡単、3つは難しい」（Federico Poloniによってこのように言い換えられます）。

特定の問題が2つのエンティティに対して定式化されると、比較的簡単に解決できます。ただし、3エンティティの定式化のアルゴリズムでは、難易度が大幅に増加し、場合によってはソリューションを実現不可能または実現不可能にすることもあります。

_{（フレージングをより美しく、簡潔で、正確にするための提案を歓迎します。）}

計算科学のさまざまな分野（純粋な線形代数から始まり、包括的なターム計算物理学で終わる）の良い例は何ですか？

物理学の多くの分野、特に古典力学と量子物理学で見られる1つの例は、2体問題です。ここでの2体問題とは、たとえば重力またはクーロン力によって相互作用する2つの相互作用粒子のダイナミクスを計算するタスクを意味します。この問題の解決策は、重心と相対座標への変数変換により、閉じた形で見つかることがよくあります。

ただし、3つの粒子を考慮するとすぐに、一般に閉形式の解は存在しません。

有名な例は、ブール充足可能性問題（SAT）です。2-SATは多項式時間で解くのは複雑ではありませんが、3-SATはNP完全です。

1次元と2次元では、すべての道路がローマに通じていますが、3次元ではありません。

具体的には、1次元または2次元の整数でランダムウォーク（任意の方向に移動する可能性が高い）が与えられると、開始点に関係なく、確率1（ほぼ確実）で、ランダムウォークは最終的に特定の指定に到達しますポイント（「ローマ」）。

ただし、3次元以上の場合、「ローマ」に到達する確率は1未満です。次元の数が増えると確率は低下します。

たとえば、「ローマ」から始まるランダムウォークの確率論的（モンテカルロ）シミュレーションを実行すると、ローマに戻ったときに停止し、1次元と2次元で、最終的にローマに戻ることが保証されます。シミュレーションの停止-とても簡単です。3次元では、元に戻すことはできません。

https://en.wikipedia.org/wiki/Random_walk#Higher_dimensions

2次元のケースを視覚化するために、都市をランダムに歩いている人を想像できます。市は事実上無限であり、歩道の正方形グリッドに配置されています。すべての交差点で、人は4つの可能なルート（最初に移動したルートを含む）の1つをランダムに選択します。正式には、これは整数座標を持つ平面内のすべてのポイントのセットでのランダムウォークです。

人は元の散歩の出発点に戻るのでしょうか？これは、上で説明したレベル交差の問題に相当する2次元です。1921年、ジョージポリャは、その人がほぼ確実に2次元のランダムウォークを行うことを証明しましたが、3次元以上では、次元の数が増えると原点に戻る確率が低下します。3次元では、確率は約34％に減少します

数値については、http：//mathworld.wolfram.com/PolyasRandomWalkConstants.htmlを参照してください。

SciComp.SEの貢献者の心に近いものを以下に示します。

ナビエ-ストークス方程式の解の存在と滑らかさと滑らかさの問題

三次元バージョンは、もちろん有名な未解決の問題であり、百万ドルの粘土ミレニアム賞の主題です。しかし、2次元バージョンは、かなり前に、肯定的な答えで既に解決されています。テリータオノート、このソリューションは1933年のLerayの論文に本質的に遡ることをています！

3次元の問題を解決するのがそれほど難しいのはなぜですか？標準の手波応答では、乱流は2次元よりも3次元で著しく不安定になります。より数学的に厳密な答えについては、Clay InstituteでのCharles Feffermanの公式問題声明または可能な証明戦略に関するTerry Taoの素晴らしい説明をチェックしてください。

社会選択理論では、2人の候補者を含む選挙制度を設計するのは簡単ですが（多数決）、3人以上の候補者を含む選挙制度を設計するには、必然的にさまざまな妥当な条件の間でトレードオフを行う必要があります。（アローの不可能性定理）。

二つの行列の同時対角化$A_1$及び$A_2$：

ただし、3つの行列を同時に標準形（上記と比較して弱い条件）に縮小する必要がある場合：

実用的なアプリケーションは、二次固有値問題の解です：

出典：CF van Loan、「講義6：高次一般化特異値分解」、CIME-EMS Summer School、Cetraro、イタリア、2015年6月。

量子コンピューティングにはたくさんの例がありますが、私はしばらくの間これをやめたので、多くを覚えていません。主要なものの1つは、2部からなるエンタングルメント（2つのシステム間のエンタングルメント）は比較的簡単であるのに対し、3つ以上のシステム間のエンタングルメントは解決されていない混乱であり、おそらく100の論文がトピックについて書かれていることです。

これの根源は、ランク2テンソル（行列）が特異値分解によって分析できることです。ランク3以上のテンソルには、同様のものはありません。ような単純な事実、でも何か$\max\left(u_a v_b w_c T^{abc} / \left\lVert u \right\rVert \left\lVert v \right\rVert \left\lVert w \right\rVert \right)$（サブ/上付き文字は、アインシュタイン総和を表すと）が、IIRC、効率的に解けることはないと考えられます。

この論文は関連しているようですが、私はまだ読んでいません：ほとんどのテンソル問題はNP困難です

直定規とコンパスによる角度二等分は簡単ですが、角度三等分は一般的に不可能です。

Rank-n型の型推論。ランク2の型推論は特に難しくありませんが、ランク3以上の型推論は決定できません。

ここに最適化からのきちんとしたものがあります：乗数の交互方向法（ADMM）アルゴリズム。

2つの変数の非結合凸関数関数（変数自体はベクトルになる可能性があります）と、2つの変数を結合する線形制約が与えられた場合：

$L_{\rho}(x_1, x_2, \lambda)$$x_1$$x_2, \lambda$$L_{\rho}(x_1, x_2, \lambda)$$x_2$$x_1, \lambda$$\lambda$。このサイクルは、停止基準に達するまで続きます。

（注：Ecksteinなどの一部の研究者は、近位オペレーターを優先してGauss-Siedel分割ビューを破棄します。たとえば、http： //rutcor.rutgers.edu/pub/rrr/reports2012/32_2012.pdfを参照してください）

凸問題の場合、このアルゴリズムは収束することが証明されています-変数の2つのセットに対して。これは、3つの変数には当てはまりません。たとえば、最適化の問題

Even if all the $f$ are convex, the ADMM-like approach (minimizing the Augmented Lagrangian with respect to each variable $x_i$, then updating the dual variable $\lambda$) is NOT guaranteed to converge, as was shown in this paper.

https://web.stanford.edu/~yyye/ADMM-final.pdf

道具を使わずに紙を半分に折るのは簡単です。三つ折りにするのは難しいです。

2つの根を持つ多項式の因数分解は簡単です。3つの根を持つ多項式の因数分解は、かなり複雑です。

次数2の滑らかな曲線（つまり、 $f(x,y) = 0$ where $f$ is a polynomial of degree 2) with a given point is rational, meaning that it can be parameterized by quotients of polynomials, of degree 3 it isn't. The former are considered well understood, the latter, called elliptic curves when a base point, i.e. a specific solution, is singled out, are the object of intense research.

This difference has several implications:

• In degree 2 there are algorithms to find all rational points (solutions in rational numbers), in degree 3 no such algorithm is known.
• Integrals involving $\sqrt{f(x)}$ with $f$ of degree 1 or 2 have solutions in elementary functions, but not for $f$ 次数3以上。
• 離散対数問題は次数2の曲線で扱いやすいため、暗号アプリケーションには適していません。一方、楕円曲線上の同じ問題の想定される硬さは、最も一般的な公開鍵暗号システムのいくつかに基づいています。

TREE機能。

計算できますTREE(2) = 3がTREE(3)、宇宙の寿命では計算できません。有限であることがわかっているだけです。

2次元空間では、複雑な構造を導入できます。これを使用して、多くの問題（潜在的な流れの問題など）をエレガントに解決できますが、3次元には類似物は存在しません。

量子多体物理学では、異なるモデル（ハイゼンベルグモデル、ボーズハバードモデル、イジングモデルなど）のフレームワークでnスピンの異なる格子を研究します。もちろん、それらを研究するためのさまざまな数値的手法（DMRG、正確な対角化、ニューラルネットワークなど）があり、さまざまな手法を開発しようとする理由の1つは、nが "高すぎる"場合にこれらのモデルを解けないためです、そして、あなたがより高い次元で勉強するならば、それはもちろんより悪いです。たとえば、イジングモデルの場合、nが20以下の場合、1dで正確な対角化がうまく機能します。したがって、nが大きい場合は、別の方法であるDMRGを試します。しかし、これらの後者は、nが大きい場合（n = 70のように、nが大きい場合はうまくいきません）、実際にうまく機能します。繰り返しますが、より高いnのための別の方法が必要です：ニューラルネットワーク（すなわち人工知能）。そして、ニューラルネットワークに加えて、これらのモデルを高次元で「より簡単に」（つまり、比較的高いnで）学習できます（ただし、次元= 3で小さいnの場合、基底状態を取得するのに多くの時間（数日）がかかります）あなたが望んでいた観察可能...）。Bref、nが数値的手法（コンピューターの処理能力）で "高すぎる"場合、新しい手法を実行する必要があり（できればスーパーコンピューターを使用する）、それは次元の問題と同じですシステムは、しかし、あなたが急速に立ち往生しているので、もちろん悪化します（あなたが多くの時間を待たない限り、次元= 4を得るのは難しいです...）。必要な基底状態または観測可能量を取得するには、まだ数時間（数日）かかります...）。Bref、nが数値的手法（コンピューターの処理能力）で "高すぎる"場合、新しい手法を実行する必要があり（できればスーパーコンピューターを使用する）、それは次元の問題と同じですシステムは、しかし、あなたが急速に立ち往生しているので、もちろん悪化します（あなたが多くの時間を待たない限り、次元= 4を得るのは難しいです...）。必要な基底状態または観測可能量を取得するには、まだ数時間（数日）かかります...）。Bref、nが数値的手法（コンピューターの処理能力）で "高すぎる"場合、新しい手法を実行する必要があり（できればスーパーコンピューターを使用する）、それは次元の問題と同じですシステムは、しかし、あなたが急速に立ち往生しているので、もちろん悪化します（あなたが多くの時間を待たない限り、次元= 4を得るのは難しいです...）。
もちろん、ここでは、実際には、量子多体物理学では、n = 3は高くありません（ただし、ハイパーキューブであるラティスを取得する場合、n = 3コース（条件のため）））。

現実の世界：

自動化％-たとえば、30％、50％、または80％で自動化するのは簡単ですが、たとえば95％を超えることは難しく、100％に達することは非常に困難です。