ODEの線形システムのアルゴリズム

私は疑問に思います：を解くのに最適なアルゴリズムは何ですかここでは実行列です。Aは明示的に時間依存ではなく、通常は疎ですが、必ずしもバンド化されていません。その固有値には正の実数部があります。Aは対角化も可能ですが、完全に対角化するには計算が効率的すぎるには大きすぎる場合があります。

\frac{d あなたは}{d t} = A あなたは

$\begin{equation} \frac{du}{dt} = Au \end{equation}$

A

$A$

n \times n

$n\times n$

私が良い経験をした暗黙の台形規則があります。

（ 私 - \frac{△ t}{2} A ） {あなたは}_{n + 1} = （ 私 + \frac{△ t}{2} A ） {あなたは}_{n}

$\begin{equation} \left(I-\frac{\Delta t}{2} A\right) u_{n+1} = \left(I+\frac{\Delta t}{2} A\right) u_{n} \end{equation}$

明示的な方法やパデ近似はどうですか？また、強制用語がRHSに追加された場合、これはどのように変わりますか？

linear-algebra ode

— ガブリエル・ランディ
ソース

Aについての詳細な情報が本当に必要です。固有値の場所によっては、安定性が明示的または暗黙的な方法の選択に影響する問題になる可能性があります。また、どの順序を希望するか、Aがスティッフソルバーを必要とするかどうかに関して、時間とともにuとともに変化するかどうかも重要です。情報に基づいた答えを出すのに十分な情報が本当にありません。

— ゴドリックシーア

@GodricSeer Godricに感謝します。に関するいくつかの仮定を追加しまし。

A

$A$

— ガブリエルランディ

@GabrielLandi特定の回答を得るには、それ以上の情報を追加する必要があります。大きさは？ある通常の？の固有値は実数、虚数、または複素数ですか？それらはどれくらい大きいか（最大で最小の大きさ）？

A

$A$

A

$A$

A

$A$

— デビッドケッチャソン

マトリックスはから独立しているため、結果は指数ベクトルと初期ベクトルの積になります。関連する方法の標準的な議論は、http： //scholar.google.atから「19の疑わしい方法」を検索することで見つけることができます。 $u$

スケーリングと二乗アルゴリズム（最も疑わしいアルゴリズム）については、http：//blogs.mathworks.com/cleve/2012/07/23/a-balancing-act-for-the-matrix-exponential/も参照してください。

— アーノルド・ノイマイアー
ソース