どのような状況で、モンテカルロ統合は準モンテカルロよりも優れていますか？

簡単な質問：多次元積分を行うには、ある種のモンテカルロ法が適切であると判断した場合、擬似乱数を使用した通常のMC積分が準乱数列を使用した準モンテカルロ積分よりも優れているという利点があります？もしそうなら、この優位性が発揮される状況をどのように認識するのでしょうか？（そうでない場合、なぜ誰もが昔ながらのモンテカルロ統合を使用するのですか？）

モンテカルロシミュレーションは、電子散乱の計算に最適な方法です。重要度サンプリングのようなトリックが時々使用されるので、それは単なる古いモンテカルロではないと言うかもしれません。しかし、主なポイントはおそらく、本質的に確率論的なプロセスがここでシミュレートされるのに対して、統合のためにモンテカルロを使用することだけを求めているということです。

誰も答えを出そうとはしなかったので、少し答えを広げてみましょう。後方散乱係数などの単一の数値のみが計算される電子散乱シミュレーションがあるとします。これを多次元積分として再定式化すると、おそらく無限次元積分になります。一方、単一の軌道のシミュレーションでは、有限数の乱数のみが必要です（この数は、二次電子の生成を考慮すると、非常に大きくなる可能性があります）。ラテンハイパーキューブサンプリングのような準ランダムシーケンスを使用する場合、固定数の次元で近似を使用し、各サンプルポイントのすべての次元に対して乱数を生成する必要があります。

そのため、違いは、ある種の高次元の単位超立方体がサンプリングされるか、原点の周りの無限の次元の確率雲であるかだと思います。

私の研究の一部は、大規模な確率偏微分方程式を解くことに関係しています。その場合、関心のある積分の従来のモンテカルロ近似は、実用的な意味で価値があるために収束するのが遅すぎます...つまり、小数点の精度を上げるために100倍のシミュレーションを実行する必要はありません積分に。代わりに、疎なスモリヤックグリッドのような他のメソッドを使用する傾向があります。それらは、より少ない関数評価でより良い精度を提供するからです。これが可能なのは、関数にある程度の滑らかさがあると仮定できるからです。

統合する関数に特定の構造（滑らかさなど）があると予想される場合、それを活用する準モンテカルロスキームを使用するのが最善であると推測するのは合理的です。関数についてあまり多くの仮定をすることが本当にできない場合、モンテカルロは私がそれを処理するために考えることができる唯一のツールです。

準モンテカルロ統合に対する従来のモンテカルロ統合の利点は、コシスとホワイトンの論文で説明されています。次の理由がリストされています。

• $\mathcal{O}(\log(N)^{d}/N)$$\mathcal{O}(N^{-1/2})$$N$$\mathcal{O}(N^{-1/2})$$d \approx 40$$d$

• $$\mathrm{error} \le V[f]D_{N}^{*}$$ $V[f]$$f$$D_{N}^{*}$

  残念ながら、既存のシーケンスの理論的な矛盾の境界は、sの中程度および大きな値には使用できません。もう1つのオプションである大きなsのシーケンスのスターの不一致の数値評価では、過度の計算作業が必要であり、そのような不一致の合理的な数値推定値を取得することは非常に困難です。

  従来のモンテカルロ統合では、エラーの限界を簡単に計算できるため、エラーの目標を指定して待つことができます。QMCでは、いくつかの関数評価を指定する必要があり、エラーが目標内に収まることを望みます。（複数の準モンテカルロ推定を使用して誤差を推定するランダム化準モンテカルロなど、これを克服する手法があることに注意してください。）

• $\mathcal{O}(1/N^{1/2+2/d})$

• 準モンテカルロが従来のモンテカルロに勝つためには、被積分関数は「低有効次元」を持たなければなりません。このテーマに関するArt Owenの論文はこちらをご覧ください。