LAPACKが（反射ベクトルを正規化する代わりに）QR分解でを使用する理由は何ですか？

LAPACKのQRルーチンは、Qをハウスホルダーリフレクターとして保存します。反射ベクトルをでスケーリングするため、結果の最初の要素はになるため、保存する必要はありません。そして、必要なスケールファクターを含む個別のベクトルを格納します。したがって、リフレクタマトリックスは次のようになります$v$$1/v_1$$1$$\tau$

ここで、は正規化されていません。教科書では、反射板の行列は$v$

ここで、は正規化されています。$v$

LAPACKはを正規化する代わりに、でスケーリングするのはなぜですか？$v$$1/v_1$

必要なストレージは同じであり（代わりに、を格納する必要があります）、と乗算する必要がないため、適用をより高速に実行できます（教科書バージョンのとの乗算を最適化できます）。単純な正規化の代わりに、はによってスケーリングされます。$\tau$$v_1$$H$$\tau$$2$$v$$\sqrt 2/\|v\|$

（私の質問の理由は、QRおよびSVDルーチンを作成していることです。私がそれに従う必要があるかどうかにかかわらず、この決定の理由を知りたいのですが）

この設計を推進しているのは、Householder-QRのブロックされたバリアントです。GolubとVan Loanの本（5.2章程度）を見ると、個々のリフレクタを形式のランクkリフレクタに累積することによって、アルゴリズムのk反復をどのようにブロックできるかが説明されてい。ここで、とはどちらもサイズ「トールスキニー」行列です。このアルゴリズムはより多くの作業を行いますが、gemm（）呼び出しが豊富なため、実際には高速です。残念ながら、と独立して表す必要があるため、ストレージに無駄が生じます。$\mathbf I + \mathbf W \mathbf Y^{\mathrm T}$$\mathbf W$$\mathbf Y$$n \times k$$\mathbf W$$\mathbf Y$

後の論文（下で引用）で、Van Loanはより効率的な「対称化された」データ構造、の形式のブロックリフレクターについて説明しています。ここで、は依然としてですが、を形成するためのフロップ/ストレージ要件は、小さい上三角行列である導入することによって削除されました。を乗算する必要があるため、少量の余分な作業が発生しますが、ため、これは通常は純益です。$\mathbf I + \mathbf Y \mathbf T \mathbf Y^{\mathrm T}$$\mathbf Y$$n \times k$$\mathbf W$$\mathbf T$$k \times k$$\mathbf T$$k << n$

LAPACK内では、非ブロック化アルゴリズムは、実際にはブロックアルゴリズムの限定的なケースであり、シンボルの選択に至るまで（、つまり少しバージョンになります）トライアングル）。$k \rightarrow 1$$\tau$$1\times1$$\mathbf T$

引用：シュライバー、ロバート、チャールズヴァンローン。「世帯主の変革の製品に対するストレージ効率の高いWY表現。」SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing 10.1（1989）：53-57。

を保存する必要はありません。残りのベクトルから再計算できます。（正規化されたバージョンでも他のエントリからを再計算できますが、それらの減算のため、明らかに不安定な計算になります。）$\tau$$v_1$

実際、下三角部分を再利用してを格納ので、分解は完全にインプレースで計算されます。Lapackは、これらのインプレースバージョンのアルゴリズムに多くの注意を払っています。$R$$v_2,...v_n$

私の提案は、インテルMKL https://software.intel.com/en-us/mkl-developer-reference-c-geqrfのドキュメントに基づいています。これは、出力ストアRの対角線以上の値のように見えるため、Qには左下の三角形しかありません。スケーリング係数に追加のストレージを使用するのは自然なことです。