多項式で近似するのが難しい連続関数の例

教育目的のために、多項式で近似するのが「難しい」単一変数の連続関数が必要です。つまり、この関数をうまくフィットさせるには、べき級数の非常に高いべき乗が必要です。私は、学生にべき級数で達成できることの「限界」を示すつもりです。

私は「うるさい」と何かを紡ぎ上げについて考えたが、代わりに自分を転がり、私はちょうど人々がそれらに多少同様に、近似/補間アルゴリズムをテストするために使用することを標準「難しい機能」のようなものがあるかどうかを疑問に思って最適化テスト機能数多く持っています素朴なアルゴリズムが簡単にスタックするローカルミニマム。

この質問の形式が適切でない場合はおApびします。非数学者に慈悲を与えてください。

絶対値関数を単に表示しないのはなぜですか？

ルジャンドル多項式展開などの近似は機能しますが、かなりひどいです：

テイラー展開はもちろんここでは完全に役に立たず、常に線形関数のみを与え、常に減少または常に増加します（展開する点が負か正かによって異なります）。

$|x|$

近似は、近似される関数によって困難になるだけでなく、近似が「良好な適合」になる間隔によって困難になります。そして、あなたは「良い適合」のための尺度を定義する必要があります。つまり、あなたが許容したい最大（絶対または相対）エラーは何ですか？

$\exp(x)$$[0,10]$$\sin(x)$$[0,2\pi]$

多項式は、関数近似で驚くほど効果的です[1]。少なくともリプシッツ連続性がある場合、チェビシェフ近似は収束します。もちろん、収束は遅くなる可能性があり、それが非平滑関数を処理するために支払う代償です。

今日、コンピューターは多くの数値分析の本が書かれた時代よりもはるかに高速であり、巧妙なアルゴリズムによってさらに速度が向上しているため、より多くの用語を使用することは以前ほど悪くないかもしれません。

ワイエルシュトラスモンスター機能のような病理学的例は、理論的な観点からは興味深いものですが、ほとんどの実際のアプリケーションコンテキストを代表するものではありません。

$|x|$$x=0$

多項式による近似の難しさを教えることは重要ですが、これらの問題に対処できる誤差推定と適応アルゴリズムを構築できることを生徒に伝えることも重要です。

[1] https://people.maths.ox.ac.uk/trefethen/mythspaper.pdf

[2] http://www.chebfun.org

$f(x) = \frac{1}{x^2+1}$

$\frac{1}{x^2+1} = 1-x^2+x^4-x^6+x^8-x^{10}+x^{12} - \ldots$

$-1<x<1$$x=0$$x=2$

$y = sin(x)$？周期関数は、多項式を有限間隔に制限するオプションがない限り、多項式を使用して近似するのが難しいはずです。