自律時の常微分方程式の数値近似システムへのショートカットはありますか？

ODEを解くための既存のアルゴリズムは、関数。ここで、です。しかし、多くの物理システムでは、微分方程式は自律的であるため、、、は省略されています。この単純化の仮定により、既存の数値手法ではどのような改善が見られますか？たとえば、場合、問題はに変わり、1次元積分を統合するためのまったく異なるクラスのアルゴリズムに目を向けます。以下のために、最大の可能な改善は、寸法低減してY∈RND$\frac{dy}{dt} = f(y, t)$$y \in \mathbb R^n$Y∈R、NT、N=1、T=∫D$\frac{dy}{dt} = f(y)$$y \in \mathbb R^n$$t$$n=1$ n>1ytyyRnRn+$t = \int \frac{dy}{f(y)}$$n>1$$y$1により、時間依存性の場合は、付加することによりシミュレートすることができるので、にのドメイン変更、からに。$t$$y$$y$$\mathbb R^n$$\mathbb R^{n+1}$

重要な改善の1つは、ソリューションマップを使用してを伝播するタイムステッピングアプローチの範囲で、伝播関数（または少なくともその一部）を1回決定し、タイムステップごとに再利用します。$y_n \rightarrow y_{n+1}=\mathcal{U}(y_n)$$\mathcal{U}$

たとえば、線形の場合、となります。ここで、は行列です。解法演算子は主に行列指数で構成されます。自律システムの場合、このコストのかかる行列指数評価は、完全な伝播に対して1回だけ必要です。これは、時間依存のシステムとは異なり、すべてのタイムステップでこの評価を実行する必要があります。$\partial_t y = A y$$A$$\mathcal{U}(y) = \exp(A \Delta t)y$

非線形システムの場合、それほど簡単ではありませんが、アルゴリズムによっては、コストのかかる特定の評価を再利用できます。