加法的な事前調整スキームは、どのような場合に乗法的なものより優れていますか？

ドメイン分解（DD）とマルチグリッド（MG）の両方の方法で、ブロック更新または粗補正のアプリケーションを加算または乗算のいずれかとして構成できます。点ごとのソルバーの場合、これはヤコビ反復とガウスザイデル反復の違いです。S （x o l d、b ）= x n e wとして機能するの乗法スムーザーは、$Ax = b$$S(x^{old}, b) = x^{new}$

$x_{i+1} = S_n(S_{n-1}( ..., S_1(x_i, b) ..., b), b)$

加法平滑剤は次のように適用されます

$x_{i+1} = x_{i} + \displaystyle\sum_{\ell = 0}^{n}\lambda_\ell(S_\ell(x_i, b) - x_i)$

いくつかの減衰のための。一般的なコンセンサスは、乗法スムーザーの収束特性がはるかに速いということですが、私は疑問に思っていました。これらのアルゴリズムの追加バリアントのパフォーマンスはどのような状況で優れているのでしょうか。$\lambda_i$

より具体的には、加法的変異体が乗法的変異体よりも大幅に優れている必要がある、および/または性能が優れているユースケースはありますか？これには理論的な理由がありますか？マルチグリッドに関するほとんどの文献は、加法についてかなり悲観的ですが、DDコンテキストでは加法シュワルツとして非常に多く使用されています。これは、線形ソルバーと非線形ソルバーを構成するはるかに一般的な問題、およびどのタイプの構造がうまく機能し、並行してうまく機能するかにも拡張されます。

付加的なメソッドはより多くの並行性を公開します。通常、これらの並行性を使用できる場合、乗法よりも高速です。たとえば、マルチグリッドの大まかなレベルは通常、遅延が制限されています。粗いレベルを小さなサブコミュニケーターに移動すると、細かいサブコミュニケーターとは独立して解決できます。乗法スキームでは、粗いレベルが解決されるまで、すべてのプロシージャが待機する必要があります。

また、アルゴリズムがすべてのレベルで削減を必要とする場合、加法的方法がそれらを連続的に実行するように強制されるため、加法バリアントはそれらを合体できる可能性があります。

SPD問題の場合、すでに述べたいくつかの理由と、さらにいくつかの理由で、MG平滑化には加算法が適しています。

@Article{Adams-02, 
author = {Adams, M.~F. and Brezina, M. and Hu, J. J. and Tuminaro, R. S.}, 
title = {Parallel multigrid smoothing: polynomial versus {G}auss-{S}eidel}, 
journal = {J. Comp. Phys.}, 
year = {2003}, 
volume = {188}, 
number = {2}, 
pages = {593-610} }

ただし、乗算法には、MGスムーザーのすぐに使用できる正しいスペクトル特性があります。つまり、減衰は必要ありません。これは、多項式の平滑化があまり良くない双曲線問題にとって大きな勝利となります。

@Jedが言ったことを再度述べます：乗法は常に少なくとも漸近法と同様に収束するため、並行性に基づいてのみ勝ちますが、それはアーキテクチャに依存します。