ハミルトニアン行列の行列指数

レッツ本当、正方形、密行列も。とは対称です。しましょう $A, G, Q$ $G$ $Q$

H = [\begin{matrix} A & - G \\ - Q & - A^{T} \end{matrix}]

$H = \begin{bmatrix} A & -G \\ -Q &-A^T \end{bmatrix}$

ハミルトニアン行列である。の行列指数を計算したい。行列とベクトルの積だけでなく、完全な行列指数が必要です。ハミルトニアン行列の指数を計算するために利用できる特別なアルゴリズムまたはライブラリはありますか？ $H$ $e^{tH}$

linear-algebra matrix dense-matrix

— マックス・ベア
ソース

行列指数自体が必要ですか、それともODEのを本当に解決しますか？

\dot{z} = H z

$\dot z = Hz$

— Daniel Shapero

マトリックス指数自体が必要です。しかし、同等に私はODE解くことができます。

\dot{Z} = H Z, Z (0) = I

$\dot{Z} = H Z,\ Z(0)=I$

— Max Behr 2018

Bennerの構造保持固有ソルバーは、相似変換を処理して行列の指数計算を容易にすることができます。

— パーカッション

@RichardZhang残忍な方法はQZ分解です。詳細については、たとえばlink.springer.com/article/10.1007/s002110050315から開始することを確認してください。

— パーカッション

紙計算行列の指数に19疑わしい方法は、25年後、多くの悪い（といくつかの良い）行列の指数を計算する方法をカバーしています。これはハミルトニアン問題に固有のものではありませんが、それでも、この種の問題に取り組んでいる場合は非常に役立ちます。

— Daniel Shapero

回答:

非常に迅速な答え...

ハミルトニアン行列の指数はシンプレクティックであり、おそらく保持したいプロパティです。それ以外の場合は、単に構造を保持しない方法を使用します。確かに、構造化された方法を使用しても、速度を維持するための実際の利点はありません。

あなたの問題を解決するための可能な方法は次のとおりです。まず、ようなシンプレクティック行列を見つけますはハミルトニアンでブロック上三角行列で、は左半平面に固有値を持っています。たとえば、この行列を取得するには、。ここで、はに関連付けられたリカッチ方程式を解くか、または（直交であるためより安定して）シューア分解を並べ替えますのとLaubトリックの適用（つまり、単一Schur因子を $\hat{H}=M^{-1}HM=\begin{bmatrix} \hat{A} & -\hat{G}\\ 0 & -\hat{A}^T \end{bmatrix}$ $\hat{A}$ $\begin{bmatrix}I & 0\\ X & I\end{bmatrix}$ $X$ $H$ $H$ $\begin{bmatrix}U_{11} & U_{12} \\ U_{21} & U_{22}\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}U_{11} & -U_{12} \\ U_{12} & U_{11}\end{bmatrix}$ ）。ハミルトニアンが虚数軸に固有値を持つ場合、問題が発生する可能性がありますが、それは長い話であり、今のところ問題では発生しないと思います。

あなたが持ってたら、あなたが持っている、あなたが計算できます特定のリヤプノフ方程式を解き、私のようなものと考えている（符号が間違っている可能性があります。およびブロックを展開して正しい方程式を取得します。参照については、「Schur-Parlettメソッド」を参照してくださいこのトリック）。 $M$ $\exp(H)=M\exp(\hat{H})M^{-1}$

\exp (\hat{H}) = [\begin{matrix} \exp (\hat{A}) & X \\ 0 & \exp (- {\hat{A}}^{T}) \end{matrix}],

$\exp(\hat{H}) = \begin{bmatrix} \exp(\hat{A}) & X\\ 0 & \exp(-\hat{A}^T) \end{bmatrix},$

X

$X$

\hat{A} X + X {\hat{A}}^{T} = - \exp (\hat{A}) \hat{G} - \hat{G} \exp (- {\hat{A}}^{T})

$\hat{A} X + X \hat{A}^T = -\exp(\hat{A}) \hat{G} - \hat{G} \exp(-\hat{A}^T)$

\exp (\hat{H}) \hat{H} = \hat{H} \exp (\hat{H})

$\exp(\hat{H})\hat{H}=\hat{H}\exp(\hat{H})$

次に、3つの要素は正確にシンプレクティックです。それらを別々に使用してください：製品を計算しないでください。そうしないと、このプロパティが数値的に失われます。

— フェデリコ・ポローニ
ソース

現在、私はそれを少し異なる方法で行っています。AREの安定化spdソリューションを使用して、の類似性変換をセットアップし、を取得しますあなたの提案のように。次に、 Lyap.eqn解にして、2番目の相似変換を設定します。。これを適用してを取得し。これはとをブロックとして対角ブロックです

H

$H$

\tilde{H} = [\begin{matrix} \hat{A} & - G \\ 0 & - {\hat{A}}^{T} \end{matrix}]

$\tilde{H}= \begin{bmatrix} \hat{A} & -G \\ 0 & -\hat{A}^T \end{bmatrix}$

X_{L}

$X_L$

\hat{A} X_{L} + X_{L} {\hat{A}}^{T} = - G

$\hat{A} X_L + X_L \hat{A}^T = -G$

M_{2} = [\begin{matrix} I & X_{L} \\ 0 & I \end{matrix}]

$M_2=\begin{bmatrix} I & X_L \\ 0 & I \end{bmatrix}$

\hat{H}

$\hat{H}$

\hat{\hat{H}}

$\hat{\hat{H}}$

\hat{A}

$\hat{A}$

\hat{- A^{T}}

$\hat{-A^T}$

— Max Behr

階層行列（行列）とそれらをサポートするライブラリーの対応する機能を使用するオプションがあるかもしれません。 $\mathcal H$

事実上、すべての行列、、およびが -matrix形式で効率よく表現されている場合、ブロックハミルトニアン行列は事実上、ブロック -matrixになります。階層形式での、、およびの表現に関する質問は、その起源に帰着します。それらの中に低ランクの構造が見つかった場合（行/列のインデックスの順列が適用される可能性がある場合）、このアプローチは実行可能です。もっともらしい例は、、、 $A$ $G$ $Q$ $\mathcal H$ $H$ $\mathcal H$ $A$ $G$ $Q$ $A$ $G$ $Q$ それらの密な構造と圧縮の可能性を説明する積分方程式から得られます（カーネルによって異なります）。

この方法が機能するための正式な要件は、が -matrix形式で表現できる場合です。ただし、、、行列表現を作成することから直接始め、最高の状態を期待します。 $(H-\lambda I)^{-1}$ $\mathcal H$ $\mathcal H$ $A$ $G$ $Q$

行列の行列のべき乗への適用は、以下で詳しく説明されています。 $\mathcal H$

I. Gavrilyuk、W。Hackbusch、およびB. Khoromskij、「アプリケーションでの指数演算子の行列近似」。Numerische Mathematik、92、83〜111、2002年。 $\mathcal{H}$

行列をサポートするいくつかのライブラリがあります。私は古い Libが何らかの形式の行列のべき乗をサポートし、それを構築するために必要な部分を持っていたことを知っています。 $\mathcal H$ $\mathcal H$

このアプローチの欠点：

、、およびの効率的な表現に依存している $A$ $G$ $Q$
ハミルトニアン構造を利用しない

良い点：

マトリックス指数の圧縮表現。ただし、MVPを実行する方法ではなく、マトリックスのままです。
線形対数の複雑さ（低ランクの仮定がある場合）
ライブラリはブロックの転置と対称性を利用するかもしれません

— アントン・メンショフ
ソース