和の固有値分解：A（対称）+ D（対角）

仮定実対称行列と固有値分解である与えられています。和の固有値で何が起こるかは簡単にわかります。ここで、はスカラー定数です（この質問を参照）。が任意の対角行列である一般的なケースで結論を出すことはできますか？ありがとう。 $A$ $V \Lambda V^T$ $A + cI$ $c$ $A + D$ $D$

よろしく、

イワン

linear-algebra

— イワン
ソース

あなたが興味を持っている結論の種類を指定する場合は、より良い答えを得ることができます。

— デビッド・Ketchesonに

@DavidKetcheson、はい、あなたは絶対に正しいです。実際に、私は、フォームのマトリックス指数のシーケンスを計算する効率的な方法を見つけようとしています

固定され、

対角行列です。

の固有値分解を

度だけ実行し、それを何らかの方法で使用して、対角行列によって導入された補正を説明したいと考えていました。残念ながら、

と

は一般的に通勤していないため、

e^{A + D_{i}}

$e^{A + D_i}$

A

$A$

D_{i}

$D_i$

A

$A$

A

$A$

D_{i}

$D_i$

e^{A + D_{i}} \neq e^{A} e^{D_{i}}

$e^{A + D_i} \neq e^A e^{D_i}$ 。あなたがそれについてのアイデアを共有できれば感謝します。ありがとう。

— イヴァン

これはscicomp.stackexchange.com/questions/503/に

— ジェフリーアービング

回答:

固有値はのエントリとともに連続的に変化するなどの一般性を除いて、ほとんど言えません。 $D$

2 x 2の場合のシンボリック計算により、強いものは期待できないことがわかります。

— アーノルド・ノイマイアー
ソース

返事をありがとう、私は私がこのような何かを聞くと知っていました。上記の私のコメントをご覧ください。

— イヴァン

行列指数の計算の複雑さとスペクトル因数分解の計算の複雑さはほぼ同じです。いいえ、簡単な解決策はありません。ただし、対角行列がlowD部分空間にある場合は、空間に十分に分散された特定の選択肢について指数関数の関連部分（または実際にそれから計算するもの）を計算することができます内挿アルゴリズムを使用して、他のすべてを近似します。

— アーノルドノイマイアー

A

$A$

e^{A}

$e^A$

V e^{Λ} V^{T}

$V e^\Lambda V^T$

A + D_{i}

$A + D_i$

D

$D$

Ming GuとStanley C. Eisenstatはこの問題を以前に研究しました。リンクを参照してください：http : //www.cs.yale.edu/publications/techreports/tr916.pdf

この論文では、ランク1の順列問題を解決しますが、ここでは問題を解決できません。誰もがランク1の順列の問題に出会った場合、それが役立ちます。

— スカイカ
ソース

対角行列の追加は、ランク1の修正ではないため、この場合にこのペーパーがどのように役立つかはわかりません。

— クリスチャンクラソン

@ChristianClason：そうです！気づいただけです。それを指摘してくれてありがとう！

— skyuuka