球面極座標の有限差分座標変換

運動量保存方程式で表される問題の一部があります。

$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta}(\rho u \sin \theta) =0$

ここで、およびρ = f （θ 、t ）（一定速度）。$u=f(\theta)$$\rho = f(\theta,t)$

単純に、ここにリストされているソリューションの1つを適用できます。当面の問題は、球の極座標（薄い球殻）とデカルトのそれらの解で最もよく説明されます。この方程式を離散化する前に何らかの座標変換を行う必要がありますか、それとも直接離散化できますか？

次に、最初にの導関数を拡張して$\theta$から離散化を試みる必要がある理由はありますか？

注として、私は上記のいくつかを実行し、一貫していないように見えるソリューションを取得しました（物理的にはいくつかは理にかなっているようです）。適切な座標変換を行う必要があるかどうか、または前述の方法のいずれかで十分かどうかに興味があります。

編集：

フラックスを次のように定義します。

$\Phi_{i+1/2} = \dfrac{u_{i+1/2}+|u_{i+1/2}|}{2}\rho_{i} \sin{\theta_{i}} + \dfrac{u_{i+1/2}-|u_{i+1/2}|}{2}\rho_{i+1} \sin{\theta_{i+1}}$

$\Phi_{i-1/2} = \dfrac{u_{i-1/2}+|u_{i-1/2}|}{2}\rho_{i-1} \sin{\theta_{i-1}} + \dfrac{u_{i-1/2}-|u_{i-1/2}|}{2}\rho_{i} \sin{\theta_{i}}$

私は、フラックスを定義するために「適切な」方法を推測していることは評価するだろうで± $\sin{\theta}$セルの中心ではなく 2つの「セル境界」。これは、フラックスの定義とより一致します。$\pm\frac{1}{2}$

最後の1つの質問-境界で何をすべきか（は特に問題であり、その点を完全に回避します）。$\theta = 0$

方程式を離散化する前に座標を変換する必要がある理由はありません。ただし、球座標を使用しているため、デカルト座標で表示される線形システムではなく、非線形システムになります。線形システムで作業したい場合は、変数の変換を行う必要があります（リンクされた質問の最初の回答に表示されるの作成と同様です）。$\Phi$

$\theta$$u$$\rho$