いつどの基準を選ぶべきか？

最近、私はこの質問を見ました：有限差分法のエラーを測定する方法

私はシミュレーション科学の学生ですが、残念ながら、私にとっては、どのような状況でどのような規範を使用するかは完全に不明確です。

多くの場合、ユークリッドノルムまたはL2ノルムを使用しますが、なぜ異なるノルムを選択するのですか？数値/数学的定義以外にそれらの意味は何ですか？より正確には：特定のコンテキストで特定の基準を使用する理由は何ですか？

PDEの解の誤差を測定するために、解が存在する空間のノルムを選択することは非常に自然です。例えば、楕円偏微分方程式のために、溶液の嘘、選択することが自然であるので、の誤差を測定するための規範を。これは理にかなっています。たとえば、解は空間ないので、勾配の最大誤差を計算することは意味がありません。正確な解決策は、勾配は有限ではない点を有しています。言い換えると、空間ノルムの誤差を測定することは意味がありません（たとえば、H 1 W 1 、∞ X X = W 1 、∞ Y Y = H 1 X ⊂ $H^1$$H^1$$W^{1,\infty}$$X$$X=W^{1,\infty}$）正確な解が（例：）と。$Y$$Y=H^1$$X\subset Y$

一方、場合、スペースノルムでエラーを頻繁に測定します。たとえば、エラーを測定する場合。これらの他の規範の場合、それは物理的な重要性が原因である場合もありますが、同様にしばしば単に便宜の問題です。ノルムが、時にはいくつかの物理的な意味を持っている：例えば、電界の二乗の積分、つまりノルムの2乗は、蓄積されたエネルギーです。同様に、波動方程式の解のノルムの2乗は、解に保存されるポテンシャルエネルギーです。それ以外の場合、それは単に便利に選択された基準です。たとえば、測定Z ⊃ Y L 2 L 2 ∫ E （X ）$Z$$Z\supset Y$$L_2$$L_2$L 2 L 2 L 1 L $\int E(x)^2 \; dx$$L_2$$L_2$時間に依存する熱方程式の誤差のノルムは、物理的に適切な量（総熱エネルギー、材料の量）が実際には解のノルムであるため、ほとんど常に間違った選択です。この場合、ノルムの誤差を測定することは、便利であること以外に意味がありません。$L_1$$L_2$

ユークリッドノルムは、2つの点のユークリッド距離が距離の妥当な尺度であるという仮定に基づいて使用されることがよくあります。しかし、これが当てはまらない限り、この選択は問題に適合した選択よりも好ましくありません。たとえば、ベクトルのコンポーネントの一般的なサイズが非常に異なる場合（それらは非常に異なることを意味するため）、ユークリッドノルムは、小さいサイズのコンポーネントの変更の影響をほとんど考慮しないため、非常に貧弱です。このような場合、ノルムを適用する前に、最初にベクトルを同じサイズのコンポーネントを持つようにスケーリングするか、異なるコンポーネントを異なるようにスケーリングするノルムを使用する必要があります。

規範ベクトル（および同様に行列と関数）のサイズは、そのサイズの尺度です。この指標は、解決する問題の意味に合わせて調整する必要があります。有限次元では、すべての基準は同じトポロジーを表すという意味で同等です。しかし、数値は特定の基準にかなり依存している場合があります。（トポロジの場合、関心があるのは制限のみです。有限Dでは、これはノルムに依存しません。つまり、場合、どのノルムでもです。ただし、どれだけ近いか限界までは、どの基準で測定するかに大きく依存します。）$\|x\|$$x$$\|x_k−x\|\to 0$$\lim x_k=x$

したがって、意味のある結果を得るには、意味のある基準を選択する必要があります。

無限次元空間（特に、共通の関数空間を含む）では、ノルムはもはや同等ではなく、異なるノルムは異なるトポロジーにつながる可能性があります。有限の結果を得るためにも適切なノルムを選択する必要があります。ノルムを適切に選択しないと、境界条件は不可能になる場合があります。

練習として、私はあなたがの値を比較することを示唆したいのためのノルムを中に種々のベクターのためのによってパラメータ、との様々な空間で同じことを行いますシーケンス。その後、違いに感謝します。良い例は、エントリがあるベクトル、ここでです。ここでは、小さなと大きな（合計を積分で近似） であり、これは無限になります場合、同じ大きさ$p$$p=1,2,\infty$$R^n$$n$$x=(x_1,x_2,\dots)$$i$$x_i=\epsilon/i^s$$s>0$$\epsilon$$n$$\|x\|_p\approx \epsilon\frac{1-1/n^{ps-1}}{ps-1}$$n\to\infty$$p\le 1/s$しかし、場合は小さいままです。$p>1/s$

いくつかの注意：

一般に、どの基準を選択するかは、測定する対象によって異なります。とても簡単です。

数値pdeの場合、ノルムには、ヒルベルト空間構造を提供するという便利な特性があります。この基準を使用する自然な理由は、https：//scicomp.stackexchange.com/a/2763/238で説明されているように、測定エラーの処理に由来します。数学的な可能性を超えた他の理由があるかどうかはわかりません。$L^2$

エラー「点ごと」にバインドされた最大を主張したいときノルムが使用されています。有限のノルムを持つ関数で双対空間を表すのは自然なことです。$L^\infty$$L^\infty$$L^1$

他のノルムは非線形PDEで使用されます。関数とその一般化された導関数を制御する場合、ソボレフノルムは空間の単純な一般化です。$L^p$$L^p$