密で不良な条件付き行列の対角化

いくつかの密で悪条件の行列を対角化しようとしています。マシン精度では、結果は不正確です（負の固有値を返す、固有ベクトルには期待される対称性がありません）。MathematicaのEigensystem []関数に切り替えて、任意の精度を利用しましたが、計算が非常に遅くなっています。私はいくつもの解決策を受け入れます。悪条件の問題に適したパッケージ/アルゴリズムはありますか？私はプレコンディショニングの専門家ではないので、これがどれだけ役立つかわかりません。それ以外の場合は、並列化された任意精度の固有値ソルバーしか考えられませんが、Mathematica、MATLAB、およびC ++以外には何も知りません。

問題の背景を説明するために、行列は大きくはありますが、巨大ではありません（最大で4096x4096〜32768x32768）。それらは実数で対称であり、固有値は0から1（排他的）の範囲にあり、多くの固有値は0に非常に近く、1に近いものはありません。行列は本質的に畳み込み演算子です。すべての行列を対角化する必要はありませんが、大きくできるほど良いです。多くのプロセッサと分散コンピューティング機能を備えたコンピューティングクラスタにアクセスできます。

ありがとうございました

スペクトル分解の代わりにSVDを計算します。行列は対称正定であるので、正確な演算でも結果は同じですが、有限精度の演算では、はるかに高い精度で小さな固有値が得られます。

編集：Demmel＆Kahan、双対角行列の正確な特異値、SIAM J. Sciを参照してください。統計 計算。11（1990）、873-912。
ftp://netlib2.cs.utk.edu/lapack/lawnspdf/lawn03.pdf

Edit2; 単一のエントリを1 ulpだけ変更すると、すでに小さな固有値がこれだけ変更されている可能性があるため、使用されるマシン精度の約ノルムの約1倍より小さい固有値を解決できるメソッドはないことに注意してください。したがって、非常に小さな値の代わりにゼロの固有値を取得することが適切であり、対応する固有ベクトルのもつれを解く方法はありません（より高い精度で作業することを除く）が、一般的な数値ヌル空間の基準を返すだけです。

この提案をありがとう。MathematicaのSVDコマンドを試しましたが、目立った改善はありません（まだ適切な対称性が欠けており、「固有値」は以前に誤って負になっていた場所で誤ってゼロになっています）。たぶん、組み込み関数の代わりに、上で説明したアルゴリズムの1つを実装する必要がありますか？大幅な改善が見込めるという事前の確信がない限り、このような特定の方法を使用する手間を省きたいです。

@JackPoulson、私はあなたが参照したJacobiの方法について紙をざっと見ました、そしてそれは有望に見えます。あなたや誰かが固有システムを見つけるためのヤコビの方法を実装する良い方法をお勧めできますか？自分で（MATLABで）コード化すると、非常に遅くなると思います。