行列値の連続分数のための効率的なアルゴリズムはありますか？

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次のように再帰的に定義された行列方程式があるとします

A[n] = inverse([1 - b[n]A[n+1]]) * a[n]

その場合、A [1]の方程式は連続分数に似ており、退屈な再計算を回避する非常に効率的な方法がいくつかあります（いくつかの例については「数値レシピ」を参照）。

しかし、b [n] A [n + 1]が正方行列であるという唯一の制約により、係数b [n]およびa [n]を行列にすることができる類似の方法があるのだろうか

1 - b[n]A[n+1]

実際に可逆です。

algorithms

— ラガーベア
ソース

これは、数か月前にmath.SEで尋ねた質問です。ある正方形や長方形の？

A

$A$

— JM

math.SEのコメントの誰かが、ベータ版がオンラインになったときにこれを尋ねることを提案したことを思い出します:)私の特別な場合、Aは長方形です。再帰方程式は、方程式の階層セットに対応し、数量の数はとともに増加します。私の場合、A [n]の次元はnx（n-1）

n

$n$

— Lagerbaer

好奇心が強い、これを使用したいアプリケーションは何ですか？

— Hjulle

1

非常に簡単に言えば、特定のハミルトニアンにダイソンのアイデンティティを使用すると、特定のインデックスラベル付けできるグリーンの関数が生成されます。同じインデックスを持つすべての関数をベクトルすると、ダイソンの恒等式と適切な近似を使用してを記述できます。すべてのに対してなるようにカットオフを使用すると、である行列を見つけることができ、これらの行列は継続分数スタイルの方程式で与えられます。この手法では、たとえば、緊密結合モデルの格子グリーン関数を計算できます。

N

$N$

V_{N}

$V_N$

V_{N} = α_{N} V_{N - 1} + β_{N} V_{N + 1}

$V_N = \alpha_N V_{N-1} + \beta_N V_{N+1}$

V_{N} = 0

$V_N = 0$

n \geq N

$n \ge N$

A_{n}

$A_n$

V_{n} = A_{n} V_{n - 1}

$V_n = A_n V_{n-1}$

— ラガーベア

1

それは私の分野ではありませんが、私はこの問題に関連する何かが提示されたセミナーにしばらく戻っていました。[ここ] [1]はオンラインで見つけることができる唯一の痕跡です。私はそれが役立つかどうか本当に知りません。[1]：mh2009.ulb.ac.be/ResActiv.pdf

— user189035

回答:

9

次の2つの方法は、行列の関数：ニコラスハイアムによる理論と計算、81ページで提供されています。これらの式は、

r (X) = b_{0} + \frac{a_{1} X}{b_{1} + \frac{a_{2} X}{b_{2} + \dots + \frac{a_{2 m - 1} X}{b_{2 m - 1} + \frac{a_{2 m} X}{b_{2 m}}}}}

$r(X) = b_0 + \frac{a_1 X}{b_1+\frac{a_2 X}{b_2+\cdots + \frac{a_{2m-1} X}{b_{2m-1} + \frac{a_{2m}X}{b_{2m}}}}}$ ここで、は正方行列です。

X

$X$

トップダウン方式：

$P_{−1}=I, Q_{−1}=0,P_0 =b_0 I,Q_0 =I$

j = 1：2mの場合

$P_j =b_j P_{j−1}+a_jXP_{j−2}$

$Q_j =b_j Q_{j−1}+a_j X Q_{j−2}$

終わり

$r_m =P_{2m} Q_{2m}^{-1}$

ボトムアップ方式：

$Y_{2m} = (a_{2m}/b_{2m})X$

j = 2m−1：−1：1の場合

解決ため。 $(b_jI+Y_{j+1})Y_j =a_jX$ $Y_j$

終わり

$r_m=b_0I+Y_1$

質問は、より一般的な形式の評価を求めます

b_{0} + \frac{a_{1} X_{1}}{b_{1} + \frac{a_{2} X_{2}}{b_{2} + \dots + \frac{a_{2 m - 1} X_{2 m - 1}}{b_{2 m - 1} + \frac{a_{2 m} X_{2 m}}{b_{2 m}}}}}

$b_0 + \frac{a_1 X_1}{b_1+\frac{a_2 X_2}{b_2+\cdots + \frac{a_{2m-1} X_{2m-1}}{b_{2m-1} + \frac{a_{2m}X_{2m}}{b_{2m}}}}}$

これは、上記の式を簡単に一般化することで評価できます。例えば、ボトムアップ方式は

$Y_{2m} = (a_{2m}/b_{2m})X_{2m}$

j = 2m−1：−1：1の場合

解決ため。 $(b_jI+Y_{j+1})Y_j =a_j X_j$ $Y_j$

終わり

$r_m=b_0I+Y_1$ 。

— デビッド・ケッチャソン
ソース

これは非常に興味深いようです。特定の問題にそれを適用できるかどうかを確認しますが、b [n] * A [n + 1]は正方行列であるため、質問に答えます

— -Lagerbaer

X

$X$

さて、私はそれを一般化しました。

— デビッドケッチャソン

6

この答えは多くの仮定を立てることを知っていますが、少なくともあなたのアルゴリズムを一般化します：

$\{A_n\}$ $\{B_n\}$ $V_N$ $\{A_n\}$ $\{B_n\}$ $U' V_N U = \Lambda_N$ $U' A_n U = \Omega_n$ $U' B_n U = \Delta_n$ $U$ $\Lambda_N$ $\{\Omega_n\}$ $\{\Delta_n\}$

誘導による分解を言ったら、

V_{n} = (I - B_{n} V_{n + 1})^{- 1} A_{n} = (I - U Δ_{n} U^{'} U Λ_{n + 1} U^{'})^{- 1} U Ω_{n} U^{'},

$V_n = (I - B_n V_{n+1})^{-1} A_n = (I - U \Delta_n U' U\Lambda_{n+1} U')^{-1} U \Omega_n U',$

フォームに再配置できます

V_{n} = U (I - Δ_{n} Λ_{n + 1})^{- 1} Ω_{n} U^{'} \equiv U Λ_{n} U^{'},

$V_n = U (I - \Delta_n \Lambda_{n+1})^{-1} \Omega_n U' \equiv U \Lambda_n U',$

$\Lambda_n$ $\{V_n\}$ $\Lambda_n$ $V_N$

$A_n \equiv \alpha_n I$ $B_n \equiv \beta_n I$ $V_N$

— ジャック・ポールソン
ソース

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