不適切な積分をどのように近似できますか？

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が有限であるような関数があり、この積分を近似したいです。 $f(x,y,z)$
$\int_{R^3} f(x,y,z)dV$

私は求積規則と積分のモンテカルロ近似に精通していますが、無限領域でそれらを実装するのは困難です。モンテカルロの場合、無限の領域をサンプリングするにはどうすればよいですか（特に積分に大きく寄与する領域が不明な場合）。直角位相の場合、どのようにして最適なポイントを見つけるのですか？原点を中心とする任意の大きな領域を単純に修正し、スパース直交ルールを適用する必要がありますか？この積分をどのように近似できますか？

monte-carlo quadrature

— ポール
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一次元では、置換による積分を使用して、無限区間を有限区間にマッピングできます。例えば

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{u^{- 1} (a)}^{u^{- 1} (b)} f (u (t)) u^{'} (t) d t

$\int_a^b f(x)\,\mathrm dx \quad=\quad \int_{u^{-1}(a)}^{u^{-1}(b)}f(u(t))u'(t)\,\mathrm dt$

ここで、 $u(x)$ は、たとえば、有限範囲で無限大になる関数です $\tan(x)$ 。

\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x = 2 \int_{- π / 2}^{π / 2} f (\tan (t)) \frac{1}{\cos (2 t) + 1} d t

$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,\mathrm dx \quad=\quad 2\int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(\tan(t))\frac{1}{\cos(2t)+1} \,\mathrm dt$

その後、修正された有限積分に通常の数値求積ルーチンを使用できます。

複数の変数の置換は少し複雑ですが、ここではかなり詳しく説明しています。

— ペドロ
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それは非常に興味深いです...私は、代替の可能性さえ考えませんでした！しかし、関数の選択は、近似の精度に影響を与えますか？

u (t)

$u(t)$

— ポール

@ポール：はい、間違いなく！関数は、を可能な限り滑らかに保つなど、可能な限り滑らかにして、より正確な積分を可能にする必要があります。

u (t)

$u(t)$

f (u (t))

$f(u(t))$

— ペドロ

それは本当ですが、私が念頭に置いていたのは、u（t）が無限に収束する割合でしたか？それも精度に影響しますか？

— ポール

1

@Paul：あなたの質問を正しく理解しているかどうかはわかりませんが、関数はある時点で無限に終わる必要があります。時間がかかり、急激に大きくなると、に大きな勾配が導入され、積分が難しくなり、精度に影響する可能性があります。

f (u (t))

$f(u(t))$

— ペドロ

1

接線の導関数が間違っていました。それを私が直した。

— JM

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それを行う標準的な方法は、式から指数プリファクターを抽出し、それを $f(x)$ に、これを重みとしてガウス求積規則（またはガウスクロンロッド）を使用することです。が滑らかな場合、通常は優れた結果が得られます。 $e^{-x^2}$ $f$

で、体重と同じ作品 $R^3$ 、適切な立方体の式は、たとえば、エンゲルスの本、数値求積法および立方体で見つけることができます。 $e^{-|x|^2}$

オンラインの数式はhttp://nines.cs.kuleuven.be/ecf/にあります

— アーノルド・ノイマイアー
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被積分関数がおおよそexp（-x ^ 2）の場合、これはうまく機能します。被積分関数がほぼ正常であるが、原点から離れた中心にある場合、このアプローチはうまく機能しない可能性があります。

— ジョンD.クック

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@ JohnD.Cook：だからこそ、私は「指数プリファクターを抽出し、それを

に変換する」と書いたのです。レベルはほぼ球形に設定されます。関数自体は通常とは大きく異なる場合があります。

e^{- x^{2}}

$e^{−x^2}$

— アーノルドノイマイアー

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1次元の求積法については、Quadpack（黄金の古き良きですが、1次元の求積法に非常に関連性が高い）の本と、無限範囲の自動積分器であるアルゴリズムQAGIで使用される手法を確認できます。

もう1つの手法は、二重指数求積公式です。これは、Oouraによって無限区間に対してうまく実装されています。

cubatureについては、Ronald Coolsによるcubature formulasの百科事典を参照できます。

— GertVdE
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2

二重指数求積法は本質的に置換方法であることに注意してください。あなたの無限範囲積分を、減衰率が二重指数関数である別の無限範囲積分に変換する置換を行います

— JM

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@JM正しい。そして、IMT変換およびTANH変換と同様に、台形規則のオイラー・マクラウリン総和公式を最大限に活用するためにそれを行います。創立者の一人が書いたDEの歴史に関する素晴らしい論文がここにあります

— -GertVdE

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$f(x)$ $\tilde f(x)$ $\tilde f$ $f$

$f(x)$ $\tilde f(x)=e^{-x^2}p(x)$ $p(x)$ $f(x)e^{x^2}$ $\int_{-\infty}^{\infty} \tilde f(x) dx$

— ウルフギャング・バンガース
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モンテカルロ積分を使用する場合は、被積分関数にほぼ近似するサンプラーで重要度サンプリングを使用することから始めます。サンプラーが被積分関数と一致するほど、積分推定値の分散は小さくなります。サンプラーが同じドメインを持っている限り、ドメインが無限であることは問題ではありません。

— ジョン・D・クック
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