どの三角形ポイントが含まれているかを見つける

重複しない三角形で構成される2Dメッシュと、点のセット。各ポイントがどの三角形にあるかを判断する最良の方法は何ですか？ { P I } M iは= 1 ⊂ ∪ NのK = 1 T $\{T_k\}_{k=1}^N$$\{p_i\}_{i=1}^M \subset \cup_{k=1}^N T_K$

たとえば、次の画像には、、があるため、リストを返す関数が。P 2 ∈ T 4 P 3 ∈ T 2 F F （P 1、P 2、P 3）= [ 2 、4 、2 $p_1 \in T_2$$p_2 \in T_4$$p_3 \in T_2$$f$$f(p_1,p_2,p_3)=[2,4,2]$

Matlabには、Delaunayメッシュに必要なことを行う関数pointlocationがありますが、一般的なメッシュでは失敗します。

私の最初の（愚かな）考えは、すべてのノード、すべての三角形をループして、どの三角形が入っているかを見つけることです。しかし、これは非常に非効率的です。取るの作品を。$p_i$$p_i$$O(N \cdot M)$

私の次の考えは、すべての点について、最近傍検索を介して最も近いメッシュノードを見つけ、その最も近いノードに接続された三角形を調べることです。この場合、作業はになります。ここではメッシュ内のノードに接続された三角形の最大数です。このアプローチには、解決できるが厄介な問題がいくつかあり、$p_i$$O(a\cdot M\cdot log(N))$$a$

• 効率的な最近傍検索を実装する（またはそれを含むライブラリを見つける）必要がありますが、これは簡単な作業ではありません。
• 各ノードに接続されている三角形のリストを保存する必要がありますが、私のコードは現在設定されていません-現在、ノード座標のリストと要素のリストがあります。

全体としてはエレガントではないように思えますが、もっと良い方法があるはずです。これは多くの問題であるに違いないので、理論上または利用可能なライブラリの観点から、ノードがどの三角形にあるのかを見つけるための最善の方法を誰かがお勧めできるかどうか疑問に思っていました。

ありがとう！

通常のランダム化されたエッジホッピング方法が機能します。基本的には、メッシュの三角形から始めて、ターゲットポイントが反対側にあるエッジを決定します。つまり、線まで延長したときに、三角形の内部からポイントを分離するエッジを決定します。2つの可能性がある場合、1つをランダムに選択し、その共有エッジに隣接する三角形を考慮して、繰り返します。ランダム化により、このメソッドはドロネー三角形分割の確率1で収束するはずであり、任意の三角形分割では機能しない理由は考えられません。

編集：エッジホッピングはであり、単一のポイントに対して妥当な定数である必要があるため、ポイントに対してはになることを追加する必要があり。ただし、ポイントをローカリティで並べ替える場合（ヒルベルト曲線の順序を最初に使用するなど）、以前のクエリの三角形で各新しいクエリを初期化して、ランタイムをさらに短縮することができます（CS理論家ではないので、 tは、ビッグOが何になるかを教えてくれます）。O （M log N ）$O(\log N)$$O(M \log N)$$M$

Edit2：終了することが保証されているこのような「ウォーキング」スキームを説明するこのPDFを見つけ、より単純なアプローチをレビューします。

クアッドツリーを使用する別の方法は、三角測量階層を使用することです。Olivier Devillersを参照してください。増分ランダム化Delaunay三角形分割の改善。Procで。14周年。ACMシンポジウム。計算。Geom。、ページ106-115、1998。これは、ドロネー三角形分割に最適ですが、ドロネー以外にも使用できます。

基本的に、ポイントロケーションを高速化するために行うことはすべて、補助データ構造の構築を必要とします。四分木または他の空間的サブディビジョンの場合、サブディビジョンツリーを構築する必要があります。エッジホッピングの場合、トポロジ構造に隣接する三角形を構築する必要があります。三角形分割階層では、より粗い三角形分割のツリーを構築する必要もあります。

あなたの解決策が実際に正しいとは思いません。これらのノードがある状況を考慮してください。

• A：（-3、1）
• B：（0、2）
• C：（3、1）
• D：（0、-5）

三角形ABCとACDがあります。これで、Bは原点に最も近い点になりますが、原点は三角形ACDにあり、Bを含みません。

$O(N \cdot M)$

三角形自体を含むクアッドツリーを構築するオプションを検討します。つまり、各ノード（境界ボックスに対応）に格納する4次ツリーがあります。

• ボックスが分割される座標、または4つのサブツリーの境界ボックス。
• サブツリーへのポインター。
• この長方形の境界ボックス内に完全に収まるが、4つのサブツリーのいずれにも完全には収まらない三角形のセット。言い換えると、四分木の2つの細分割線セグメントのいずれかと交差する三角形。

$\sqrt{n}$$n$$\log n$$O(N\cdot M)$

CGALは、三角形分割とポイント位置を処理します（さらに多くのことを行います）。特に、2D三角形分割モジュールは、必要な処理を実行できます。