暗黙のサーフェスを方向付けられたポイントセットに適合させる

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一連のポイントと対応する法線（または同等に接線）への2次近似に関する質問があります。二次曲面をポイントデータに近似する方法はよく研究されています。いくつかの作品は次のとおりです。

次曲面のフィッティングタイプ制約直接、ジェームズ・アンドリュース、カルロ・H.スパンコール コンピュータ支援設計＆アプリケーション、10（）、2013年、BBB、CCC
データを二次曲面の当てはめ代数、I.アルSubaihiおよびGAワトソン、ダンディー大学

射影輪郭への適合も、このようないくつかの作品でカバーされています。

これらすべての作業から、Taubinの2次近似の方法は非常に人気があると思います。

G.タウビン、「暗示方程式で定義された平面曲線、表面および非平面空間曲線の推定、エッジおよび距離画像セグメンテーションへの応用」、IEEE Trans。PAMI、Vol。13、1991、pp1115-1138。

簡単に要約させてください。二次は代数形式で書くことができます：ここで係数ベクトルであり 3次元座標です。任意点嘘二次曲面上のなら、： $Q$

f (c, x) = A x^{2} + B y^{2} + C z^{2} + 2 D x y + 2 E x z + 2 F y z + 2 G x + 2 H y + 2 I z + J

$f(\mathbf{c},\mathbf{x}) = A x^2 + By^2 + Cz^2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Iz + J$

c

$\mathbf{c}$

x

$\mathbf{x}$

x

$\mathbf{x}$

Q

$Q$

x^{T} Q x = 0

$\mathbf{x}^TQ\mathbf{x}=0$

Q = [\begin{matrix} A & D & E & G \\ D & B & F & H \\ E & F & C & I \\ G & H & I & J \end{matrix}]

$Q = \begin{bmatrix} A & D & E & G \\ D & B & F & H \\ E & F & C & I \\ G & H & I & J \\ \end{bmatrix}$

代数近似原則として、ポイントと2次曲面間の幾何学的距離の2乗の合計を最小化するパラメーターを解きます。残念ながら、これは既知の分析ソリューションを持たない非凸最適化問題であることがわかりました。代わりに、標準的なアプローチは代数近似を解くこと、つまり最小化するパラメーターを解くことです。 $\mathbf{c}$

\sum_{i = 1}^{n} f (c, x^{i})^{2} = c^{T} M c

$\sum\limits_{i=1}^{n} f(\mathbf{c},\mathbf{x}^i)^2 = \mathbf{c}^T M \mathbf{c}$ with ここで、はポイント内のポイントですcloudと

M = \sum_{i = 1}^{n} l (x^{i}) l (x^{i})^{T}

$M = \sum\limits_{i=1}^{n} l(\mathbf{x}^i)l(\mathbf{x}^i)^T$

{x^{i}}

$\{\mathbf{x}^i\}$

l = [x^{2}, y^{2}, z^{2}, x y, x z, y z, x, y, z, 1]^{T}

$l = [x^2, y^2, z^2, xy, xz, yz, x,y,z, 1]^T$

このような直接最小化により、を原点に持つ簡単な解が得られることに注意してください。この問題は、文献で広く研究されています。実際にうまく機能することがわかっている解決策の1つは、制約を導入したタウビンの方法（上記で引用）です。 $\mathbf{c}$

‖ \nabla_{x} f (c, x^{i}) ‖^{2} = 1

$\| \nabla_x f(\mathbf{c},\mathbf{x}^i) \|^2 = 1$

これは次のように解決できます：ここで、添字は導関数を示します。解は、一般化された固有分解によって与えられ。最適なパラメーターベクトルは、最小の固有値に対応する固有ベクトルに等しくなります。

N = \sum_{i = 1}^{n} l_{x} (x^{i}) l_{x} (x^{i})^{T} + l_{y} (x^{i}) l_{y} (x^{i})^{T} + l_{z} (x^{i}) l_{z} (x^{i})^{T}

$N = \sum\limits_{i=1}^n l_x(\mathbf{x}^i)l_x(\mathbf{x}^i)^T+ l_y(\mathbf{x}^i)l_y(\mathbf{x}^i)^T + l_z(\mathbf{x}^i)l_z(\mathbf{x}^i)^T$

(M - λ N) c = 0

$(M −\lambda N) \mathbf{c} = 0$

主な質問 多くのアプリケーションでは、点群の法線が利用可能（または計算済み）です。二次のの法線は、暗黙の表面を微分および正規化することでも計算できます。 $\mathbf{N}(x)$

N (x) = \frac{\nabla f (c, x)}{‖ \nabla f (c, x) ‖}

$\mathbf{N}(x) = \frac{\nabla f(\mathbf{c},\mathbf{x})}{\|\nabla f(\mathbf{c},\mathbf{x})\|}$ ここで

\nabla f (c, x) = 2 [\begin{matrix} A x + D y + F z + G \\ B y + D x + E z + H \\ C z + E y + F x + I \end{matrix}]

$\nabla f(\mathbf{c},\mathbf{x}) = 2 \begin{bmatrix} Ax + Dy + Fz + G \\ By + Dx + Ez + H \\ Cz + Ey + Fx + I \\ \end{bmatrix}$

ただし、Taubinの方法はポイントジオメトリのみを使用し、接線空間は使用しません。また、2次の接線が下にあるポイントクラウドの接線にも一致するように2次を近似するのに適した多くの方法を知りません。上記の方法の潜在的な拡張、またはこれらの一次導関数をカバーする他のものを探しています。

私が達成したいことは、より原始的な表面（曲線）タイプで、低次元の空間で部分的に対処することです。たとえば、勾配情報を考慮して、画像の端に線を当てはめます。3Dクラウドへの平面（単純なタイプの2次）のフィッティングは非常に一般的です（リンク1）。または、球または円柱のフィッティングは、方向付けられたポイントセットにフィットできます（リンク2）。だから私が思っているのは似たようなものですが、フィットしたプリミティブは二次関数です。

また、次のような提案された方法の分析も歓迎します。

必要なオリエンテッドポイントの最小数は？
退化したケースは何ですか？
堅牢性について何か言えますか？

更新：私は従うべき方向を提示したいと思います。正式には、私が達成したいこと：

‖ \nabla f - n ‖ = 0

$\| \nabla f - \mathbf{n} \| = 0$ ポイントで。たぶん、追加の制約を考え出し、ラグランジュ乗数を使用して最小化するために、タウビンの方法とそれを融合することは可能でしょうか？

x

$\mathbf{x}$

— トルガ・バーダル
ソース

Qの要素の多くがQに誤って配置されていませんか？

— -Museful

あなたは正しいです、そして私は今これを修正しました。

— トルガバーダル

4

上記の質問に対する満足のいく回答が得られなかったことに驚き、調査の結果、これは未開拓の領域であることがわかりました。したがって、私はこの問題の解決策を開発するためにいくらか努力し、次の原稿を発行しました。

T.バーダル、B。ブサム、N。ナバブ、S。イリック、P。シュトゥルム。「点群の二次曲線のタイプに依存しない検出へのミニマリストのアプローチ。」コンピュータビジョンとパターン認識に関するIEEE会議の議事録。2018. http://openaccess.thecvf.com/content_cvpr_2018/html/Birdal_A_Minimalist_Approach_CVPR_2018_paper.html

T. Birdal、B。Busam、N。Navab、S。Ilic、およびP. Sturm、「パターン解析とマシンインテリジェンスに関するIEEEトランザクション」の「新しい最小二次近似を使用したポイントクラウドでの一般的なプリミティブ検出」。 https://arxiv.org/abs/1901.01255

ここで主なアイデアについて簡単に触れます。

このアプローチは、勾配1の近似（）に似ています。二次の勾配ベクトルを点群の法線に合わせます。ただし、 -fits とは異なり、ソリューションを正規化するのではなく、線形制約を使用してランクを上げることを選択します。ベクトルとベクトルのアライメントが次のいずれかの形式の非線形制約をもたらすため、これは一見非自明です： $\nabla 1$ $\nabla \mathbf{Q}(\mathbf{x}_i)$ $\mathbf{n}_i \in \mathbb{R}^3$ $\nabla 1$

\begin{aligned} \frac{\nabla Q (x_{i})}{‖ \nabla Q (x_{i}) ‖} - n_{i} = 0 or \frac{\nabla Q (x_{i})}{‖ \nabla Q (x_{i}) ‖} \cdot n_{i} = 1. \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\nabla \mathbf{Q}(\mathbf{x}_i)}{\|\nabla \mathbf{Q}(\mathbf{x}_i)\|} - \mathbf{n}_i\, = \,0\,\quad\text{or}\,\quad \frac{\nabla \mathbf{Q}(\mathbf{x}_i)}{\|\nabla \mathbf{Q}(\mathbf{x}_i)\|} \,\cdot\, \mathbf{n}_i\, = \,1. \end{align}$ 非線形性は、大きさを事前に把握することが難しく、したがって均一なスケールを事前に把握するのが難しいため、正規化によって引き起こされます。我々は、通常の均質スケール当たり導入することによって、この問題を解決する：未知数と書き込み間のここで、これを点すべてに重ねると法線は、形式のシステムにつながります：

α_{i}

$\alpha_i$

\begin{aligned} \nabla Q (x_{i}) = \nabla v_{i}^{T} q = α_{i} n_{i} \end{aligned}

$\begin{align} \nabla \mathbf{Q}( \mathbf{x}_i) = \nabla \mathbf{v}^T_i \mathbf{q} = \alpha_i \mathbf{n}_i \end{align}$

v = {[\begin{matrix} x^{2} & y^{2} & z^{2} & 2 x y & 2 x z & 2 y z & 2 x & 2 y & 2 z & 1 \end{matrix}]}^{T}

$\mathbf{v} = \begin{bmatrix} x^2 & y^2 & z^2 & 2xy & 2xz & 2yz & 2x & 2y & 2z & 1 \end{bmatrix}^T$

N

$N$

x_{i}

$\mathbf{x}_i$

n_{i}

$\mathbf{n}_i$

A^{'} q = 0

$\mathbf{A}^{\prime}\mathbf{q}=\mathbf{0}$

[\begin{matrix} v_{1}^{T} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ v_{2}^{T} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ v_{n}^{T} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ \nabla v_{1}^{T} & - n_{1} & 0_{3} & \dots & 0_{3} \\ \nabla v_{2}^{T} & 0_{3} & - n_{2} & \dots & 0_{3} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \nabla v_{n}^{T} & 0_{3} & 0_{3} & \dots & - n_{n} \end{matrix}] [\begin{matrix} A \\ B \\ ⋮ \\ I \\ J \\ α_{1} \\ α_{2} \\ ⋮ \\ α_{n} \end{matrix}] = 0

$\begin{equation} \begin{bmatrix} \mathbf{v}^T_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \mathbf{v}^T_2 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{v}^T_n & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ {\nabla \mathbf{v}_1^T} & -\mathbf{n}_1 & \mathbf{0}_3 & \cdots & \mathbf{0}_3 \\ {\nabla \mathbf{v}_2^T} & \mathbf{0}_3 & -\mathbf{n}_2 & \cdots & \mathbf{0}_3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {\nabla \mathbf{v}_n^T} & \mathbf{0}_3 & \mathbf{0}_3 & \cdots & -\mathbf{n}_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A \\ B \\ \vdots \\ I \\ J \\ \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{bmatrix} = \mathbf{0} \end{equation}$ -\ mathbf {n} _n \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} A \\ B \\ \ vdots \\ I \\ J \\ \ alpha_1 \\ \ alpha_2 \\ \ vdots \\ \ alpha_n \ end { bmatrix} = \ mathbf {0} \ end {equation} ここで、、は

\nabla v_{i}^{T} = \nabla v (x_{i})^{T} \in R^{3 \times 10}

${\nabla \mathbf{v}_i^T}= {\nabla \mathbf{v}(\mathbf{x}_i)^T \in \mathbb{R}^{3\times 10}}$

0_{3}

$\mathbf{0}_3$

3 \times 1

$3\times 1$ 列のゼロのベクトル、は、は未知の均一スケールです。

A^{'}

$\mathbf{A}^\prime$

4 N \times (N + 10)

$4N\times(N+10)$

α = {α_{i}}

$\boldsymbol{\alpha}=\{\alpha_i\}$

のヌル空間にあるこの定式化の解は許容できる結果を生成しますが、システムは何ができるかについて非常に制約されていません（スケールファクターが余りにも自由です）。実装するのに複雑すぎない適切な正規化ツールを見つけることをお勧めします。実際には、再び勾配1の近似に似ていますが、単位ノルムの多項式勾配を好むため、または同等の、1つの一般的なスケールファクターを記述できます。このソフト制約 $\mathbf{A}^{\prime}$ $\alpha_i=1$ $\alpha_i \gets \bar{\alpha}$ データの局所的な連続性を尊重して、多項式のゼロセットを強制しようとします。このような正則化は、敏感な同種のシステムを解くことからも救い、よりコンパクトな形式でシステムを書き直すことができます： $\mathbf{A}\mathbf{q}=\mathbf{n}$

[\begin{matrix} x_{1}^{2} & y_{1}^{2} & z_{1}^{2} & 2 x_{1} y_{1} & 2 x_{1} z_{1} & 2 y_{1} z_{1} & 2 x_{1} & 2 y_{1} & 2 z_{1} & 1 \\ x_{2}^{2} & y_{2}^{2} & z_{2}^{2} & 2 x_{2} y_{2} & 2 x_{2} z_{2} & 2 y_{2} z_{2} & 2 x_{2} & 2 y_{2} & 2 z_{2} & 1 \\ ⋮ \\ 2 x_{1} & 0 & 0 & 2 y_{1} & 2 z_{1} & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 y_{1} & 0 & 2 x_{1} & 0 & 2 z_{1} & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 z_{1} & 0 & 2 x_{1} & 2 y_{1} & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 2 x_{2} & 0 & 0 & 2 y_{2} & 2 z_{2} & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 y_{2} & 0 & 2 x_{2} & 0 & 2 z_{2} & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 z_{2} & 0 & 2 x_{2} & 2 y_{2} & 0 & 0 & 2 & 0 \\ ⋮ \end{matrix}] [\begin{matrix} A \\ B \\ C \\ D \\ E \\ F \\ G \\ H \\ I \\ J \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \dots \\ n_{x}^{1} \\ n_{y}^{1} \\ n_{z}^{1} \\ n_{x}^{2} \\ n_{y}^{2} \\ n_{z}^{2} \\ \dots \end{matrix}]

$\small \begin{bmatrix} x_1^2 & y_1^2 & z_1^2 & 2x_1y_1 & 2x_1z_1 & 2y_1z_1 & 2x_1 & 2y_1 & 2z_1 & 1\\ x_2^2 & y_2^2 & z_2^2 & 2x_2y_2 & 2x_2z_2 & 2y_2z_2 & 2x_2 & 2y_2 & 2z_2 & 1\\ &&&& \vdots &&&&&\\ 2x_1 & 0 & 0 & 2y_1 & 2z_1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2y_1 & 0 & 2x_1 & 0 & 2z_1 & 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2z_1 & 0 & 2x_1 & 2y_1 & 0 & 0 & 2 & 0\\ 2x_2 & 0 & 0 & 2y_2 & 2z_2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2y_2 & 0 & 2x_2 & 0 & 2z_2 & 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2z_2 & 0 & 2x_2 & 2y_2 & 0 & 0 & 2 & 0\\ &&&& \vdots &&&&& \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A \\ B \\ C \\ D \\ E \\ F \\ G \\ H \\ I \\ J \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \dots \\ {n}^1_x \\ {n}^1_y \\ {n}^1_z \\ {n}^2_x \\ {n}^2_y \\ {n}^2_z \\ \dots \end{bmatrix}$

全体として、この方程式系を解くと、2次曲線が点群に入射すると同時に、その勾配が法線方向に揃えられます。また、ポイントと法線の寄与を異なる方法で重み付けすることもできます。特定の場合、型固有の適合を得るには、目的のプリミティブに合わせたマイナーな再設計で十分です。これらすべての詳細、およびいくつかの理論的分析と擬似コードについては、前述の出版物を参照してください。 $\mathbf{A}$

— トルガ・バーダル
ソース

これは素晴らしい！Aを変更して、ポイントと法線の相対的な寄与に異なる重みを付けるにはどうすればよいですか？

— -Museful

ポイント方程式である最初の行に目的の重みを掛けるだけです。オプションで、法線に対応する行をスケーリングするには、方程式の右辺もスケーリングする必要があります：。

n

$\mathbf{n}$

— トルガバーダル

ありがとう。転置記号は、最後の方程式のqとnから削除されるべきではありませんか？

— 面白い

再度、感謝します。それらを削除しました。

— トルガバーダル

1

法線がフィッティング手順に含まれている1つの例を知っています。ただし、直接2次近似ではありません。局所的にパラメータ化されたパッチは、ポイントと法線に適合します。法線を使用すると、近似問題により多くの方程式が与えられ、高次の多項式を使用できるようになります。

主方向ベクトルを近似するための新しい三次アルゴリズム

— アフィラッシュレディM
ソース

0

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動径基底関数による陰関数表面のエルミート補間

そしてist拡張

エルミート動径基底関数の暗黙的

— lhf
ソース