不連続ガラーキンスキームのCFL条件

私は、のタイプの保存則の線形システムの解決のためにADER-Discontinuous Galerkinスキームを実装し、CFL条件が非常に制限的であることを観察しました。参考文献では、時間ステップの上限を見つけることができます。ここで、はセルサイズ、は次元およびは多項式の最大次数です。 $\partial_t U + A \partial_x U + B \partial_y U=0$ $\Delta t \leq \frac{h}{d(2N+1)\lambda_{max}}$ $h$ $d$ $N$

この問題を回避する方法はありますか？私はWENO-ADER有限ボリュームスキームを使用しており、CFLの制限ははるかに緩和されました。たとえば、5次のスキームでは、DGを使用する場合は0.04未満のCFLを課す必要がありますが、WENO-ADER FVスキームではCFL = 0.4を使用できます。

たとえば、計算空気力学（線形化オイラー方程式）または同様のアプリケーション（ガス力学、浅水域、電磁流体力学）で、ADER-FVではなくDGスキームを使用する理由は何ですか。スキームの全体的な計算コストは、はるかに低いタイムステップにもかかわらず、ADER-FVの計算コストと同じですか？

これについての考えや提案は大歓迎です。

— ADR
ソース

DGスキームの制限的なCFLは、通常、高次の精度とコンパクトなステンシルの組み合わせから生じます（たとえば、このリファレンスを参照してください）。CFLは、解のノルムに関する変分形式の境界に依存します。これは、微分と多項式のトレースに依存します。これらの各量の境界（バーンスタインまたはマルコフブラザーの不等式と離散トレースの不等式を使用）は、に逆に依存し、次数二次的に依存する定数を与えるため、全体的なCFLになります。 $L^2$ $h$ $N$ $O(h/N^2)$

参考までに、あなたが言及したCFLが以前に参照されたのを見たことがありますが、それが証明された場所を思い出すことはできません。私は彼らが彼らの境界でへの二次依存をどのように避けるか知りたいです。 $N$

有限差分とWENOスキーム（および周期メッシュのBスプラインベースの有限要素法）では、類似境界の定数がゆっくりと成長するため、CFL条件が緩くなります。これは、ステンシルサイズが次数で増加する傾向にあり、これらの問題の一部が減少するためです。 $N$ $N$

DGメソッドはより高価ですが、非構造化メッシュを簡単に処理でき、効率的に実装できます。非構造化グリッドには高次バージョンのWENO（または同様の再構成）がありますが、これらは追加の数学的または実装上の複雑さをもたらす可能性があります。

— ジェシー・チャン
ソース

Jesseの詳細な回答をありがとうございました。この問題について幅広い見方をしてくれました。DG-ADERを使用した数値トライアルで、構造化された四辺形メッシュ（たとえば、四角形、台形、平行四辺形などの任意の四辺形形状）を使用すると、数値解が非振動で正確な解に収束することに気付きましたただし、構造化されていないメッシュに移動すると、構造化されたメッシュのノードを短い距離でランダムに変位させることによって作成された、準構造化メッシュであっても振動が発生します。これは予想される動作ですか？

— 2017年

@エイドリアン-均一なメッシュから離れると、振動が現れるのはごく一般的です。いったん一般的なメッシュを使用すると、メッシュサイズ正確に何を意味するのかももはや明確ではなくなります。セルの直径、最短エッジの長さ、領域の平方根（2d単位）、または「メッシュサイズ」を定義するその他の方法を使用できます。

h

$h$

— Wolfgang Bangerth 2017年

h

$h$