次の積分を計算する必要があります： ここで行列（一つの粒子の運動と基礎で発現ポテンシャルエネルギー）である、依存する行列であり、（1粒子多対体のグリーンの機能）および等高線積分は左半円です。被積分関数は、負の実軸上に極を持ち、評価に費用がかかります。そのような積分を計算する最も効果的な方法は何ですか？
これまでの私の研究は次のとおりです。
1）ガウス積分を使用します。統合パスは長方形です。左側と右側（つまり幅）を固定し、高さ（実際の軸の上と下）で遊んで、与えられた統合順序で最高の精度を得るようにしました。たとえば、次数20の場合、高さが大きすぎると精度は低下します（明らかに）が、小さすぎると低下します（私の理論では、高さが進むにつれて極の周囲にポイントが必要になるということです） 0）。私は自分の機能に最適な高さ0.5で落ち着きました。
2）次に、長方形の右側をE0に設定します。通常はE0 = 0ですが、E0 = -0.2または同様の値にすることができます。
3）長方形の左側を左に移動し始め、各ステップで積分順序の収束を行い、積分が各長方形で完全に収束することを確認します。幅を大きくすると、最終的に無限の左半円の範囲で収束値が得られます。
計算は非常に遅く、また幅が広いとあまり正確ではありません。1つの改善点は、単純に長い幅を「要素」に分割し、各要素でガウス積分を使用することです（FEと同様）。
別のオプションは、各極の周りに小さな円を統合して合計することです。問題点：
a）関数極を数値的に見つける方法は？堅牢でなければなりません。私が知っている唯一のことは、それらが負の実軸上にあるということです。それらの一部（すべてではない）については、かなり良い初期推測も知っています。分析関数機能するメソッドはありますか？または、実際の形式に依存しますか？
b）極がわかれば、その周りの小さな円を積分するのにどの数値スキームが最適ですか？円でガウス積分を使用する必要がありますか？または、ポイントの均一な分布を使用する必要がありますか？
別のオプションとして、a）のおかげで極を知ったら、複雑な統合を必要とせずに残基を取得するための半分析的な方法があるかもしれません。しかし今のところ、輪郭の統合を最適化するだけで満足です。