漸近勾配を見つけるための数値アルゴリズムはありますか？

一連のデータポイントありそれらは（ほぼ）大規模な行に漸近する関数従うと予想されます。基本的に、はとしてゼロに近づき、おそらくすべての微分、についても同じことが言えます、など。しかし、f（x）の関数形式が何であるかは、それが基本関数の観点から説明できるものを持っている場合でもわかりません。$(x_i,y_i)$$y(x)$$x$$f(x) \equiv y(x) - (ax + b)$$x \to \infty$$f'(x)$$f''(x)$$f(x)$

私の目標は、漸近勾配aの可能な限り最良の推定値を取得すること$a$です。明らかな大雑把な方法は、最後のいくつかのデータポイントを選択して線形回帰を行うことですが、もちろん、データがあるxの範囲内で$f(x)$が「十分にフラット」にならない場合、これは不正確になります。明らかに粗雑な方法は、f（x）\ approx \ exp（-x）（または他の特定の関数形式）を想定し、すべてのデータを使用してそれに適合することですが、私が試した単純な関数は\ exp （-x）または\ dfrac1 {x}は、f（x）の下のxのデータと完全には一致しません$x$$f(x) \approx \exp(-x)$$\exp(-x)$$\dfrac1{x}$$x$$f(x)$は大きい。漸近勾配を決定するための既知のアルゴリズムはありますか、データが漸近線にどのように近づくかについての知識が不足しているので、信頼区間とともに勾配の値を提供できますか？

この種のタスクは、さまざまなデータセットを扱う作業で頻繁に発生する傾向があるため、主に一般的なソリューションに興味がありますが、リクエストにより、この質問を引き起こした特定のデータセットにリンクしています。コメントで説明されているように、Wynn $\epsilon$アルゴリズムは、私が知る限り、いくぶんオフの値を提供します。これがプロットです：

（高いx値でわずかに下向きの曲線があるように見えますが、このデータの理論モデルでは、漸近的に線形になるはずです。）

それはかなり大まかなアルゴリズムですが、おおまかな見積もりには次の手順を使用します：あなたが言うように、が増加するにつれてあなたのを表すがほぼ線形である場合、私はd doは、差分、シャンクス変換のような外挿アルゴリズムを使用して、差分の限界を推定します。結果は、この漸近勾配の適切な推定値であることが望まれます。$f(x)$$(x_i,y_i)$$x$$\dfrac{y_{i+1}-y_i}{x_{i+1}-x_i}$

以下はMathematicaのデモです。Wynnアルゴリズムは、シャンクス変換の便利な実装であり、（隠された）関数として組み込まれています。関数で手順を試してみます$\epsilon$SequenceLimit[]

xdata = RandomReal[{20, 40}, 25];
ydata = Table[(3 + 13*E^(4*x) + 6*E^(4*x)*x + x^2 + 3*E^(4*x)*x^2 + 
      2*E^(4*x)*x^3)/(E^(4*x)*(3 + x^2)), {x, xdata}];

SequenceLimit[Differences[ydata]/Differences[xdata],
              Method -> {"WynnEpsilon", Degree -> 2}]
1.999998

アルゴリズムがいかに簡単かを示すこともできます。

wynnEpsilon[seq_?VectorQ] := 
 Module[{n = Length[seq], ep, res, v, w}, res = {};
  Do[ep[k] = seq[[k]];
   w = 0;
   Do[v = w; w = ep[j];
    ep[j] = 
     v + (If[Abs[ep[j + 1] - w] > 10^-(Precision[w]), ep[j + 1] - w, 
         10^-(Precision[w])])^-1;, {j, k - 1, 1, -1}];
   res = {res, ep[If[OddQ[k], 1, 2]]};, {k, n}];
  Flatten[res]]

Last[wynnEpsilon[Differences[ydata]/Differences[xdata]]]
1.99966

この実装は、ウェニガーの論文から改作されました。