ボックス内の領域のボロノイ図を計算する

私は次のような問題に直面しています。特定の未知の分布を持つポイントでいっぱいのボックスがあり、そのボロノイ図を計算したいと思います。問題は、ポイントの数が非常に多いため、完全な配布ではこれを実行できない場合があることです。

そのため、ポイント数がそれほど多くないボックス内の領域のみにそれを行うことを計画しました。そのためには、そのボックス内の特定の小さな領域のボロノイ図に影響を与える可能性のある最小領域を計算する方法を知る必要があります。

言い換えれば、以下の図の小さな立方体の内側の点のボロノイ図を計算し、メモリ上で可能な最小のボロノイ図を格納するフルボックスの点を持つボロノイ図に適合するようにします。

膨大な（1億を超える）ポイントセットのボロノイ図を計算するには、次のアルゴリズムを使用できます。

1) create a kd-tree with all the points
2) for each point p [in parallel optionally]
     N = 10
     while not finished
       compute the N nearest neighbors of the point p
       compute the intersection of the N half-spaces defined by p 
       and the neighbors
       if there is a neighbor further away than 
         twice the radius of the ball centered on p and 
         bounding the intersection, finished = true
       N = N * 1.5
  // when exiting the loop, the computed intersection 
  // corresponds to the Voronoi cell of p, because no other bisector
  // can contribute to the Voronoi cell.

アルゴリズムについては、私の記事で詳しく説明しています。データの依存関係がないため、簡単に並列化できます（メインループの前に「#pragma omp parallel for」を追加するだけです）。これは、私のGEOGRAM C ++プログラミングライブラリに実装されています（メモリ効率の高いKd-Treeと合わせて、1億を超えるポイントまで拡張できます）。GEOGRAMには、最大1億のサイトで適切に機能するパラレル標準Delaunay / Voronoi実装もあることに注意してください。

古典的な（Boywer-Watson）アルゴリズムの並列実装については、GEOGRAM実装がここに文書化されています（関連するc ++ソースファイルにも広範なコメントがあります）。私はそれについて公開された記事を持っていません、時間が許せば私はそれを書きます。主なアイデアは、四面体に関連付けられたスピンロックを使用して、1つのスレッドだけが四面体を変更できるようにすることです。

専門家があなたの質問に答えていないようですので、私はアイデアを提供しようとします。しかし、その前に、すでに開発されているいくつかの高度な方法について文献を調べることを強くお勧めします。ただし、これが良い、または高速で効率的な提案であることを保証せずに、次の方法論を提案します。覚えておいてください、私はいくつかの間違いをした可能性があるため、すべてが完全に正しいことを保証するものではありませんが、この方法のアイデアが問題の解決に役立ついくつかのアプローチを提供してくれることを願っています。

$V$$C$$V_C$$C$$V_C = V \cap C.$$V'_C=V_C$

$Vor(V'_C)$$v \in V'_C$$Vor(v)$$W(v)$$v \in V'_C$$W(V'_C) = \cup_{v \in V'_C} W(v)$$Vor(V'_C)$

$V'_C$$W(V'_C)$

$w \in W(V'_C)$$w$$w$$w$$V'_C$$w$

$w$$C$$w$

$C$$V$$w$

$w$$V$$V$$V'_C$$w$

$v \in V'_C$$W(v)$$v$$v$

$V_C$

$Vor(V'_C)$$C$$Vor(V)$$C$

$V_C$$Vor(V'_C)$$V'_C$$W(V'_C)$

これがお役に立てば幸いです。

これを行う最も簡単な方法は、少なくとも内側のボックス内のポイントの最も近いすべての近傍を含む大きなボックスで内側のボックスを囲むことです。内部ボックスが周囲のデータボックスの端に近い場合に問題が発生することに注意してください。外部ポイントがないためです。

Voronoi / Delaunayテッセレーションの計算は、想像よりも微妙な場合があります。問題の1つは、点がテッセレーション平面/ラインの片側にあるのか他にあるのかを正確に決定する方法です。

これを行うための完全な「CGAL」C ++ライブラリがhttp://www.cgal.org/にあります。私の同僚と私は、これを天体物理学のいくつかの公開された論文で使用しました。これらのテッセレーションを作成する際のすべての潜在的な落とし穴に対処することは、確かなようです。

私はあなたの質問を次のように理解しています：ポイントの完全なセットを検討したときに得られるものと同じになるように、ポイントのサブセットに対してボロノイ図を描きたいです。ボロノイ図は、最初に隣接する点を結合し、次に線分に垂直な平面を中点で描くことによって描画されます。これをすべての最近傍に対して行い、点の近傍にボロノイ図を作成します。これをすべてのポイントに対して実行すると、すべてのポイントのボロノイ図が作成されます。ボロノイ図はローカルに定義されています。2番目の最近隣効果または3番目の最近隣効果はありません。最初の最近隣効果のみ。したがって、点のサブセットを含むボロノイ線図を取得するために必要なのは、対象のサブ領域内の点を特定し、それらをそれぞれの最近傍点すべてに接続することだけです。これらの線分の中点を通り、線分に垂直な平面を描きます。この図は、サブリージョンでも完全なリージョンでも、ローカルリージョンで同じです。

Grasshopper for Rhinoceros3Dを使用して、視覚的で直感的なアプローチを取ることをお勧めします。Rhinocerosは商用CADパッケージであり、Grasshopperはそのプラグインですが、プラグインを無料で無制限に実行して実験を行うことができます（ライセンスのないRhino3DはRhinoファイルの保存のみを制限します）。Grasshopperには、キャンバスで使用される多数の数学関数が含まれており、3Dボロノイ図はその1つです。