ODE対DAE対ADE？

私がよく知っているODEと微分代数方程式（DAE）と代数微分方程式（ADE）の間で完全に混乱しています。それらは同じですが、名前が異なるだけですか、それらの主な違いは何ですか（それらの性質と解決方法）。よろしくお願いします

ode numerical-modelling dae

— MBM
ソース

解決方法に関して：DAEの扱いはかなり難しいです。たとえば、HindmarshとPetzoldの作品を見てください。RKのような従来の方法は、多くの支援なしではそれらに機能しません。

— JM

PDE、DDE、SDEをお忘れなく...

— user541686

回答:

：少なくとも一つの相違点は、常微分方程式のシステムでは、すべての式は微分、例えばあることである Iが精通だと微分代数方程式の定義に対し、セットの一部の非差動（すなわち、代数）方程式、例えばを含む：

\dot{バツ} = f （ バツ 、 y ） \dot{y} = g （ バツ 、 y ）

$\dot{x}=f(x,y)\\ \dot{y}=g(x,y)$

ここで

は非自明であり、その解は簡単にするために最初の方程式に簡単に代入できません。より代数的な用語がある場合、これらはより複雑になります。

\dot{バツ} = h （ バツ 、 y ） y = l （ バツ 、 y ）

$\dot{x}=h(x,y)\\ y=l(x,y)$

l

$l$

DAEは数値的により困難です。彼らが伴う課題は、困難な問題に直面している課題と似ていますが、時にはそれよりも深刻です。DAEとそれらを数値的に解決する方法の非常に完全な説明は、HairerとWannerによるテキストのボリュームIIにあります。

— ビル・バース
ソース

Prollyは、2番目の方程式セットでは

表現していました。

l (x, y) = 0

$l(x,y)=0$

— JM

私はDAEとADEにも慣れていませんが、ウィキペディアは名前にもかかわらずそれらを異なるものとして分類しています。ADEのページも、違いがあるとは言えません。

— tpg2114

@JM、長い目で見れば同意するが、ODEのテーマに合わせようとした。つまり、関数の引数に導関数を含めれば、これらはすべて「等しいゼロ」の形式で書くことができます。

— ビル・バルト

-1ここで記述されている公式は、一般的なDAEを許可していません。我々は、と言うことができ

実際に

と同じではありませんどの

; 後者は遠い

\dot{x} = f (x, y)

$\dot{x} = f(x,y)$

\dot{x} (t) = (f (x, y)) (t)

$\dot{x}(t) = (f(x, y))(t)$

\dot{x} (t) = f (x (t), y (t))

$\dot{x}(t) = f(x(t), y(t))$ より制約されています。OTOH、それらを同じであると解釈すると、

方程式は間違っています。微分項をまったく許容しないためです。それは単なる代数方程式。DAEの正しい定式化は、@ adhalanayの答えに見られるものであり、代数的な用語で導関数を使用できます。

y (t) = l (x (t), y (t))

$y(t) = l(x(t), y(t))$

— user541686

@Mehrdad、まあ、あなたはいつでも自分の答えを自由に説明できます。私はこの問題について論文を書くつもりはありませんでした。

— ビル・バース

微分代数方程式（DAE）は、の形式の方程式で、未知の関数はです。したがって、ある意味でODEの一般化があります。始めるのに良い場所はここです。一方、代数微分方程式はまったく別のものです。ウィキペディアのページでは概要を説明していますが、基本的には微分代数の微分演算子を含む方程式です。 $F(t,x,x')=0$ $x(t)$

— Adhalanay
ソース

MOに関する回答の同一のコピーを次に示します。

DAEを理解する1つの直感的な方法は、DAEを、出力信号が（等式）制約を満たす必要がある入力信号によって制御できる動的システムとして解釈することです。典型的なマルチボディシステムでは、入力信号は拘束に対して垂直な力であり、出力信号は物体の位置であり、出力信号の（等式）拘束は物体間の固定距離です。

入力信号は、出力信号が常に制約を満たすように動的システムを制御する必要があります。力のみが速度の変化率を制御し、速度は位置の変化率のみを制御するため、これはマルチボディシステムでは困難です。一方、位置のみが制約を満たす必要があります。

インデックスの削減は理論的には簡単です。現在のインスタンスで位置が制約を満たすと仮定すると、速度の制約によって位置の制約を置き換えることができるため、位置が制約を引き続き満たしていることを確認できます。ただし、実際には、速度の制約を決定した後で位置の制約を破棄したくありませんが、終了したくない場合は、初期の（微分）方程式の一部を破棄する必要があります。過決定システムで。

$c(y,t)=0$ $\frac{d}{dt}c(y(t),t)=0=\frac{\partial c}{\partial y}*\frac{d}{dt}y+\frac{\partial c}{\partial y}$ $\frac{d}{dt}y$ $\frac{d}{dt}y$ $\frac{d}{dt}y=v$ $v=\dot{y}$ $0=\frac{\partial c}{\partial y}*v+\frac{\partial c}{\partial y}$ $0=\frac{\partial c}{\partial y}*\dot{y}+\frac{\partial c}{\partial y}$ $\dot{y}$ 代わりに変数の導関数の変数として）。

$y_1^2+y_2^2=1$ $y_1$ $y_1(t)=\sqrt{1-(y_2(t))^2}$ $y_1$ $\frac{d}{dt}y_1=\dots$ $y_2$ $y_2$

— トーマスクリムペル
ソース